老师，我解错了吗

杜锡儿

摘 要：由学生的一道题目因错误使用平移知识的解答过程而展开讨论，帮助学生寻找问题的症结所在，解决并探讨问题产生的原因，分析思维定式在数学解题中的影响。

关键词：问题；平移；思维定式

“老师，这个题目我的做法可行吗？我的方法和标准答案提供的解题思路不同，答案似乎从相似的角度得出直角边长计算面积，我用平移的方式解决，方便多了。”一群学生将我团团围住，我一边接过题目，一边习惯性地观察了一下他们的神情，看来此题不算很难，大家好像已经解决，和提问者达成了一致的见解，希望得到我的肯定及表扬。

原题如下：

如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，以1 cm/s速度沿着正方形的边向点C、D、A、B运动。设运动时间为x（s），问：

（1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；

（2）若正方形ABCD的边长为2 cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

（3）若改变点的连结方式如图（b），其余不变，则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3 cm2？

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第（1）（2）小题的解答没有疑问，对于第（3）题，学生的解答如下：

解：设动点出发x秒时，图中空白部分的面积为3 cm2。

由于动点F、G、H、E都以1 cm/s速度分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，则BF=CG=DH=AE=x cm，FC=GD=HA=EB=（2-x）cm，图中阴影部分是两个全等的平行四边形，面积都为2（2-x）cm2。

于是，为求空白部分的面积，利用平移的知识，将图形变成为如图（c），那么空白部分的面积为：x2=3，得x=

■≈1.73秒。

标准答案提供的解答如下：

解：可求得空白部分的面积=4x-4+■，

则4x-4+■=3，化简得：

4x3-3x2-12=0，由计算器估算得x≈1.74，

所以当动点出发约1.74秒时，图中空白部分的面积为3 cm2。

学生的疑问：解得的答案非常接近，为什么答案不采用平移方式解题，而是得到了一个如此复杂的一元三次方程，还得靠计算器估算得到近似值？乍一看，学生的解答似乎不错，我也迟疑了一下，按部就班地求得空白部分的面积，需要用到相似等知识来解答，得到的方程求解也是一个大麻烦。

问题的症结出在哪儿呢？心想：得让学生自己来找出原因，日后不再犯同类型错误。于是，让一个学生动手剪下图（b）中的四个空白直角三角形，引导他们分析：若能得到x2=3，则必能将四个直角三角形拼成一个边长为x的正方形，否则他们的方法就不可取。学生动手实践后，发现拼成的边长为x的正方形如图（d），图形中间还有一个小正方形，学生意识到了自己做错了，但还是提出：平移过程哪里错了？

显然，孩子们陷入了思维定式的圈子了。他们受狭隘的知识经验范围所限，当事物的背景发生了变化，而仍以原来的思维模式处理问题，就易形成思维定式，造成对事物错误或歪曲的判断和理解。自从对“图形平移”的学习开始，到“一元二次方程”解决实际问题的应用，都涉及了这类问题，我每次要求学生观察图形特征，善用平移知识进行解题。或许是学生平时遇到的题目都能用平移方式解决，从而形成了潜意识，拿到题目直接将“小路”平移，使其余部分集中在一起，方便列式计算。为了让学生自己发现症结，我画了几种不同类型的“小路”，希望他们在思考中发现区别。

图一：在矩形草地中修建两条纵向、一条横向小路，每处路宽都相等，如图所示。

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图二：在矩形草地中有两条弯曲的小路，小路任何地方的宽度都相等，如图所示。

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图三：在矩形草地中有三条小路，两条纵向小路的宽度相等，每段横向弯折小路的宽度相等，且每段小路均为平行四边形，如图所示。

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仔细观察了这三个图形，与自己所提的问题图形进行比较后，一位学生顿悟，立刻回答道：“上述图形中的小路不管什么形状，由于路宽始终相等，重叠部分都是以路宽为边长的正方形，平移前后阴影部分面积相等；而我们提出的问题中的图形的情况是这样的：虽然FC=GD=HA=EB=（2-x）cm，但是图（b）阴影部分的重叠处是一个边长为（2-x）sin∠GDEcm的正方形，平移后图（c）重叠处却是一个边长为（2-x）cm的正方形，显然平移前后阴影部分面积不相等。”精彩的回答，找出了问题的症结所在，而且将刚学的三角函数知识也应用其中，并没有误认为∠GDE=45°，我连忙称赞、表扬这个学生，并指出：此题求空白直角三角形的面积时应该利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”会更快捷，列式更方便。随后，学生又演算了一遍，真正解决了这一道题。虽然他们提出的解法错误，但是我仍旧表扬他们善于发现、提出问题，会在解题中思考的好习惯。

为了使学生进一步意识到思维定式的弊端，我想到前阵子看到的一则小故事。

著名的科普作家阿西莫夫天资聪颖，他一直为此而洋洋得意。有一次，他遇到一位熟悉的汽车修理工。修理工对阿西莫夫说：“嗨，博士！我出道题来考考你的智力，如何？”阿西莫夫同意了。修理工便说道：“有一位既聋又哑的人，想买几根钉子，来到五金商店，对售货员做了一个手势：左手两个指头立在柜台上，右手握成拳头做敲击状。售货员见了，给他拿来一把锤子。聋哑人摇摇头，指了指立着的那两根指头。于是售货员给他换了钉子。聋哑人买好钉子，刚走出商店，接着就进来一位盲人。这位盲人想买一把剪刀，请问：盲人将会怎样做？”阿西莫夫心想，这还不简单吗？便顺口答道：“盲人肯定会这样。”说着伸出食指和中指，做出剪刀的形状。修理工笑了：“哈哈，盲人想买剪刀，只需要开口说‘我买剪刀就行了，干吗要打手势呀？在考你之前，我就料定你肯定会答错，你所受的教育太多了，不可能很聪明。”

其实，并不是因为学的知识太多了，人反而变得笨了，而是因为人的知识和经验会在头脑中积累形成惯常定式。这种思维定式会束缚人的思维，会使人习惯于用旧有的、常规的模式去思考和处理问题。当面临外界事物或现实问题的时候，人就会不假思索地把它们纳入特定的思维框架，并沿着特定的路径对它们进行思考和处理。

在数学解题过程中，思维定式对问题解决的影响普遍存在，有时利用特有的规律，有助于学生运用所学的知识和积累的经验来解题，有时能举一反三、触类旁通，如上面所举的三例（图一、二、三），但有时也会产生消极影响，妨碍思路的打开，甚至产生思维惰性，就如学生提出的问题。在教学过程中，教师要注重通过对知识和技能的联系、对比、类比、转化，为学生发挥思维定式的积极作用创设情境，找到与之相适应的知识联系，解释同类现象，确定解题策略，培养学生思维的灵活性，防止思维定式的负迁移。

参考文献：

徐春娣.初中数学学习中学生思维定式负迁移的成因分析及对策[J].数学教育学报，2008（3）.

（作者单位 浙江省宁波市奉化市锦屏中学）

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