如何提高线性代数的自考通过率

王文相　夏云

摘 要： 作者分析了线性代数各部分学习内容特点，对如何学好线性代数提出了方法。

关键词： 线性代数 自学考试 线性变换 特征值

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题。因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛应用于自然科学和社会科学中。

线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种，是学习线性代数时应养成的重要习惯和形成的重要素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点的话，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。学习时应做到心中有数，将内容一步步分解为这些简单问题的叠加。学习重点应放在理解和运用和计算上，老师上课时的例题很重要，要方便学生课后理解消化，学生要勤做练习加深理解，做题时应分清各类题型，举一反三。笔者从事线性代数的教学和自考辅导工作多年，对如何学好这门课有自己的认识。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

我们不仅要准确把握住概念的内涵，而且要注意相关概念之间的区别与联系。线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对，再问做得好不好。只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论和矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述。

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还要注意语言的叙述表达应准确、简明。

自学考试的特点是难度不大，考点广泛，要求基础扎实，面面俱到。每年的考卷内容变化不是太大，基础题重复出现的机会较大。在学习过程中，把概念搞清楚、内容理顺后，对往年的真题进行大量的强化练习，相信一定会取得好成绩。

参考文献：

[1]雷晋干，陈铭俊，匡蛟勋，沈祖和.数值分析的泛函方法[M].高等教育出版社，1996.

[2]王文相，后六生.利用吸引盆推广Hadamard-Levy定理[J].池州师专学报，2005-5.endprint