浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透

于秋琳

摘 要： 极限作为数学中常用的基本概念之一，是用以描述变量在一定变化过程中的极端状态，是一种将事物无限逼近某一状态的概念。极限思想是一种重要的数学思想，是对数学知识的本质反映，是形象思维向抽象思维转化的纽带。在学生学习数学知识的启蒙阶段对其渗透极限思想，不但可以提高学生的抽象思维能力，而且有助于学生掌握学习数学的思想和方法，使他们受益终生。本文阐述了极限思想在小学数学教学中渗透的必要性，并结合数学公式、概念、练习、总复习等教学案例，论述了极限思想在小学数学教学中渗透的途径及渗透过程中应注意的问题。

关键词： 小学数学教学 极限思想 渗透

一、极限思想及其历史简介

17世纪微积分创立伊始，无限概念便成为人们关注的主题。无穷小的概念是微积分建立的一个基础，在研究物体运动变化时，先把它看做是可以无限减少的量，这时它比零大，同时又把它看做零而忽略不计，即认为它是零。数学家们为了消除这种矛盾，进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西比较完整地阐述了极限概念及其理论，在柯西的思想中，函数不会直接趋近于极限，必须经过含有无穷小的表达式。他把无穷小视为以零为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限接近于零。柯西的极限论是一种潜无限的过程，而极限的完成又表现为实无限。可见，柯西的理论中潜无限与实无限在某种程度上达到了统一，但柯西的极限定义中仍有许多不严格的地方，后经维尔斯特拉斯的进一步改进，终于用“ε-δ”语言将其精确化了。

二、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性

在小学阶段学习的数学相对比较简单，学生可能在走出校门后不到两年就将所学的数学知识淡忘了，但是，那些所学习到的数学思想和数学方法将牢记于心，不管日后在工作中还是在生活中，都可以随时发挥作用。所以，将数学思想和方法不断地渗透给学生，才是学生掌握知识的关键。

在小学数学教材中，有很多知识点是与极限思维有关的，如自然数、奇偶数和循环小数等涉及数量无限多的概念，以及直线、射线、角的边、平行线的长度等涉及无限延伸性的几何概念等。教师在教学过程中如能刻意挖掘，并适当地将其蕴涵的极限思想和方法渗透给学生，那么不仅可以让学生掌握知识点和开拓思维，而且可以让学生在以后的生活和工作中随时发挥作用。

三、在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径

小学阶段的学生由于正处在身心发展的阶段，是形象思维向抽象思维转化的阶段，对极限思想的理解具有局限性，但并不意味着在教学过程中要淡化对极限思想的渗透。在教学过程中，教师可以利用推导公式的过程、学习新概念的过程、练习和总复习的过程对学生进行渗透，提高学生的抽象思维能力。

（一）在推导公式的过程中渗透极限思想

在小学数学教学中，会涉及大量的关于数学公式的推导，有些公式的推导就是运用的极限思维推导出来的，教师可以利用这一过程潜移默化地对学生进行渗透。最典型的运用极限思想推导出公式的例子就是圆的面积。

案例一：教学“圆的面积”

在教学“圆的面积公式的推导”这节课时，教师往往让学生把一个圆连续对折，在不断对折过程中，学生就可以发现：对折的次数越多，所得到对折后的图形越来越接近与三角形，展开后，沿折痕把圆平均分成若干个近似等腰三角形，等腰三角形的两腰就是圆的半径，而底边就是圆周长的一部分。在这个环节学生能够感受到由曲变直的过程，领会从近似分割到无限细分的数学思维方法。

在公式推导过程中，运用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态，这样不但使学生能够牢记公式，而且能将无限逼近的极限思想渗透到他们的脑海中。

（二）在学习新概念的过程中渗透极限思想

新概念对于小学生来说是新接触的知识，是一个从无到有的过程，也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解，也为他们以后的学习奠定一定的基础。有些新概念中蕴含一定的极限思想，教师在教授的同时可以适当地渗透给学生，帮助他们更好地理解新概念。

案例二：教学“循环小数的概念”

在教学“循环小数的概念”这节课时，它的概念性较强，同时在这节新课中也蕴含着极限的思想。在讲循环小数的概念之前教师往往会让学生讨论：0.999…和1哪个大？学过方程的学生可能会将0.999…设为x，那么10x=9.99…，10x=x+9，9x=9，那么x=1，所以0.999…=1。那么没有学过方程的学生可以在一些算式当中找规律：1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.999=0.0001…，1-0.999…=？，这时学生就可以从这些算式中发现当小数部分的9增加一位时，其数值就多了一个0，那如果0.999…中小数部分有无穷多个9，那么最终结果会无限趋近于0。

（三）在练习过程中渗透极限思想

数学的学习一定离不开练习，练习是对所学知识的巩固和训练，但是在练习中教师往往忽略了对学生数学思想和方法的训练，数学思想和方法的形成是需要不断积累、不断应用达成的。所以培养学生的数学思想和方法不仅需要老师在讲授新课过程中潜移默化地渗透，而且要在练习过程中不断巩固和训练。

从图中可以直观地看出随着分数分母不断增加，正方形所划分的空间越来越小，而空白部分的面积越来越大，大到不断逼近正方形的面积1，那么当有无穷多项相加时，其结果趋近于1。

（四）在总复习过程中渗透极限思想

总复习是把前面学过的相对独立及零散的知识点聚集起来，以回顾、归纳、总结等方式梳理知识点，形成知识网，明确各个概念之间的联系，使数学知识在学生头脑之中更加完整化、条理化和系统化。

案例四：教学“平面图形的整理与复习”

在这节课中，教师把学生所学过的平面图形罗列出来，包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆，对它们的特点进行分析。如果借助极限思想以梯形的面积公式为核心进行梳理，那么又该如何推导出其他图形的面积公式呢？梯形面积公式：S=（上底+下底）×高÷2，假设让梯形的上底无限趋近于0，那么所得的图形近似于三角形，S=下底×高÷2，即三角形的面积公式：S=（上底+下底）×高÷2。同理，把长方形两腰趋向垂直于底、正方形的四条边趋近于相等、平行四边形党的上下底边趋于相等，都可以推导出各平面图形的面积公式。

S=（a+b）h÷2

通过构建知识网络系统图，使学生对所学过的平面图形的面积公式有了更深刻的理解，让学生知道解决问题并不只有一个方法，帮助学生形成较完整的认知结构，使极限思想潜移默化地印在学生的头脑之中。

四、极限思想在小学数学教学中渗透的注意问题

在小学阶段，学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极限思想的逻辑性和抽象性都很强，小学生不易理解。首先，在教学过程中教师要由浅入深，从具体到抽象，从感性到理性，根据学生在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升。其次，极限思想方法不像一般数学知识那样，通过几节课的学习就可以掌握。只有通过不断循序渐进和反复训练，才能使学生真正有所领悟。最后，教师要努力挖掘教材中可以进行极限思想渗透的知识点，将极限思想融合于小学数学教学之中。

参考文献：

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