群体决策基数表示的一个充要条件

刘 冰，刘 鹏

(1.南京工业职业技术学院 文理学院，江苏 南京 210023;2.东南大学 数学系，江苏 南京 210096)

人们研究群体决策问题时，更多的是在序数意义下进行各种情况的讨论，其中偏爱规则(或称多数规则)［1，2］是群体决策中基本的决策规则。文［3］研究了该规则所满足的充分和必要条件;文［4］、［5］研究了较多规则的扩展形式，文［6］、［7］、［8］探讨了不同的集结规则;对于随机情况下，文［9］提出群体随机偏爱规则(映射)及随机偏爱公理，并且建立了相应的不可能性定理;文［10］、［11］和［12］则各给出随机偏爱群体决策的一些选优排序方法。

然而，现实生活中，更多的情况是由评委直接给出被评对象的分数或效用值，这涉及的是群体决策的基数表示形式。文献［13-16］研究了福利经济学中的贫困问题，给出其数值表示形式以及相应的公理。本文借鉴其研究方法，对于供选方案中个体具有多个属性时的基数表示问题，给出一个效用集结函数，证明了该效用集结函数满足文献［14］、［17］、［18］中给出的六个公理，在其中几个公理的组合下，可以证明效用集结函数恰能用我们所给出的形式表示，即为一个充分必要条件。最后我们提出在该效用集结函数下对方案集的群体排序算法。

1 问题表述

对于被评对象具有多个属性时的选优排序问题，我们给出一个框架，并提出一个效用集结函数。

设X={x1，…，xs}(s≥2)是供选方案集，其中xi=(xi1，xi2，…，xin)∈Rn表示第 i组方案的 n 个属性集，G={DM1，…，DMl}是决策群体，其中 DMr(r=1，…，l;l≥2)是第 r个决策个体。

定义 2.1［1］设 ur(xij)∈［0，1］(i=1，…，s;j=1，…，n;r=1，…，l)是 DMr关于 xij的效用函数值，Ur是 DMr关于 xi的效用函数，(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(r=1，…，l;i=1，…，s)是效用函数值断面，记Δ是效用函数值断面集，则有Δ={(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))|i=1，…，s;r=1，…，l}。

定义 2.2设映射F:Δ→R+

为效用集结函数(其中R+是非负实数)。

下面我们给出F的一种具体表达形式，并进行相关阐述和证明。我们取

其中当 α =1时，有 F1(ur(xi1)，ur(xi2)，…，当α→0时，我们有下面引理:

引理1对所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和任意的 α∈(0，1)，都有

2 基本知识

公理O［14］(单调性条件)映射F满足单调性公理，如果对任意的 U =(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ 和 U'= (u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得∀j，ur(xij)≥u'r(xij)，并且∃k，ur(xik)＞u'r(xik)，那么F(U)＞F(U')。

说明:由Fα的构造，易得其满足单调性公理。

公理T［14］(传递性公理)映射F满足传递性公理，如果对任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得，ur(xik)=u'r(xik)∀k≠i，jur(xii)≥u'r(xij)并且有u'r(ii)=ur(ii)+ε≤1和u'r(xij)=ur(xij)－ε≥0(ε ＞0)，那么F(U')＞ F(U)。

引理 2对所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和任意的α∈(0，1)，都有Fα满足传递性公理。

上述证明中之所以取“＞”是因为ur(xii)≥u'r(xij)，ε ＞ 0，α ∈ (0，1)。

公理E［18］(公平性公理)映射F满足公平性公理，如果对任意的U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈nu*，并且U≠U*，那么F(U)＞F(U')

引理3 如果映射F满足传递性公理，那么其必满足公平性公理。

证 设F是满足传递性公理的映射，U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))和 U* =(u*，u*，…，u*)满足公平性公理中的条件，即U，U* ∈Δ，U≠U*，且有

定义集合S⊂Δ使得

这里有 U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))，u'r(xik)=ur(xik)，∀ur(xik)≠(U)，(U)，且u'r(ii)=(U)+ ε(ur(xii)=(U))，u'r(xij)=(U)－ ε(ur(xij)=(U))，由传递性公理，可以得到F(U)＞F(φ(U))。考虑无限序列{U1，U2，…}使得U1=U且有Ut+1=φ(Ut)∀t＞1。必然存在某个使得∀t≥，Ut=U*。因此 F(U1)＞F(Ut)∀t＞1，从而有F(U)＞F(U*)。

引理4 任意的效用集结函数Fα，满足公平性公理。

公理C［17］(一致性)映射F满足一致性公理，如果对任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，使得ur(xi1)=ur(xi2)= … =ur(xin)=u，则有F(U)=u。

公理A［17］(匿名性)映射F满足匿名性公理，如果对任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，对所有的排列变换 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，F(U)=F(ur(xiσ(1))，ur(xiσ(2))，…，ur(xiσ(n)))。

公理R(表示公理) 对于每个个体i，都存在一个函数vi:［0，1］→R+(R+表示正实数)，并且对每个n∈Z+(Z+表示正整数)，存在集结映射P:→R，使得对所有的效用函数值断面 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(ur(xij)∈ ［0，1］)，F(U)=P(v1(ur(xi1))，v2(ur(xi2))，…，vn(ur(xin)))和

(1)［18］对每个 i，v是仿射的和减的。

(2)［17］P 满足匿名性。即，对所有的 v=(v1，v2，…，vn)∈和排列 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，P(v1，v2，…，vn)=P(vσ(1)，vσ(2)，…，vσ(n))。

(3)［18］P 满足标量独立性。即，由 P(v1，v2，…，vn)≥ P(v'1，v'2，…，v'n)和(b1，b2，…，bn)∈，可知 P(b1v1，b2v2，…，bnvn) ≥ P(b1v'1，b2v'2，…，bnv'n)。

3 充要条件

现在，给出并证明:一个效用集结函数可以用(1)式来表示的充分必要条件。

定理 映射F满足公理A，C，O和R当且仅当F可以用(1)式表出，即对任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，有

其中 α ∈ (0，1)。

证 先证明充分性条件，由上述知识，公理A，C，O显然成立。对于公理R，作代换，定义映射F如下:

可知(2)式满足公理R。

再证明必要性条件，设映射F满足公理A，C，O和R。由公理R，我们知道存在集结映射P使得，对任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

接下来分为四步来证明。

第一步:我们首先来证明P是元素乘积的变换，即

由公理R(ii)得

由公理R(iii)得

如果，那么就有P(v)=P(t)。因此，存在函数 ψ，使得

第二步:接着我们来证明P是元素乘积的负单调变换。也就是∃ψ:R→［0，1］，使得x，y∈R，x ＞ y，则ψ(x)＞ ψ(y)。设 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ，并且 ur(xi1)＞ u'r(xi1)，ur(xij)=u'r(xij)，∀j∈ {2，3，…，n}。由公理O，F(U')＞ F(U)。由公理R，对每个i，vi是减函数，我们有

再利用公理R，可得

因此F(U')＞F(U)，从而ψ是减函数。由上述两步可知存在减函数ψ使得

第 三 步: 考 虑 U =(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，由公理 A，F(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))=F(ur(xi2)，ur(xi*)，…，ur(xin))。因此由

因为ψ是减函数，我们有

同理可得vj(ur(xij))=v1(ur(xij))vj(ur(xi*))v1(ur(xi*))，Vjj= 1，2，…，n。 因 此 ∀(ur(xi1)，ur(xi2)，…，里从上可知，如果存在减函数ψ满足(3)式，那么就存在减函数φ，使得 ∀U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

为了简单，我们用v(ur(xij))代替v1(ur(xij))则有

第四步:由公理 C，可知∀u∈［0，1］，u=φ(v(ur(xij)n))。记 x=v(ur(xij)n)，则有 φ(x)=v－1()，由公理 R(i)，记 v(u)=A －Bu，B ＞0。因此 φ

利用(4)式有

因为v(1)=A－B＞0，所以A＞B，即α＜1，又可知α＞0。综上可知，必要性得证。

4 群体排序算法

最后，我们给出群体排序方法。

算法一:

(1)由各决策个体给出各组n个成员的效用值ur(xij);

(4)根据总体效用值U(i)的大小，对s个方案进行排序，U(i)值越大，方案越好。

算法二:

(1)由各决策个体给出各组n个成员的效用值ur(xij);

(2)计算第r个决策者对第i组n个成员的总效用值

(4)根据总体效用值Fα(U(i))的大小，对s个方案进行排序，Fα(U(i))值越小，方案越好。

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