数学教学中类比思想的培养

丁惠清 周逸波

牛顿发现了万有引力定律，提出两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。库仑在研究电荷后想，两静电荷之间的作用力（库仑力），它的大小符合什么样的规律呢？他根据万有引力定律，大胆猜想，得出了著名的库仑定律：库仑力的大小类似于万有引力，即与电量强度的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，并通过实验，证实了自己的猜想。库仑在万有引力的基础上，通过类比，得出库仑定律。难怪英国物理学家开普勒感叹道：类比是我最好的老师。可见，类比思想在知识的创新过程中，起着多么重要的作用。

类比就是从一类事物所具有的属性，通过联想，得到另一类事物也具有类似属性的思想方法。通过类比，可以创造新的命题，它是创造性思维的源泉之一。在日常教学中，如何渗透类比思想呢？

一、培养学生类比思想的切入点

（1）从已知的数学“概念”出发。数学的概念教学，是数学课中很重要的组成部分，但往往被忽视，认为记住概念就可以了。其实，数学概念蕴含着丰富的内涵，有些概念往往可作为培养学生类比思想的好素材。比如：（凸）多边形和（凸）多面体概念。多边形：由三条或三条以上的线段（边）围成的封闭的平面图形。多面体：由四个或四个以上的多边形（面）围成的封闭的几何体。多边形有关的概念：角、边长、顶点、高、面积等。多面体有关的概念：二面角、表面积、顶点、体高、体积等。可以发现：两概念极为相似。因此，平面几何与立体几何之间可能存在某些类似性质。要研究这些性质，得先找出两者之间一些概念的对应关系。可以引导学生，从两者的定义出发，导出两者之间可能存在的类比规律：平面图形由“边”围成，立体图形由“面”围成，显然“边”对应“面”；某一“边长”对应某一面的“面积”；两边构成“角”，两面构成“二面角”，那么“角”对应“二面角”；多边形的“顶点”对应多面体的“顶点”；多边形的“面积”对应多面体的“体积”等等。（篇幅所限，图略）从熟悉的数学概念着手，培养学生类比的思想，既强化概念学习的重要性，又亲身体验了类比规律得出的过程，学生比较容易接受。下面，是类比规律的运用、验证示例。

例1：真命题：平面几何中有如下命题：正三角形内（或边上）任意一点到三边的距离之和等于正三角形的高。请运用类比和联想把此命题推广到空间，写出类似的命题并证明是否成立。

根据类比规律，可得以下命题：正四面体内（或面上）任意一点到四个面的距离之和等于正四面体的高。

例2：任意△ABC中有余弦定理：AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB. 类比余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面积之间的关系式并证明。

根据类比规律，可得以下命题：S2■AA■C■C=S2■■+S2■■-2S■·S■·COSa （a是二面角A-BB1-C的大小）

（2）从数学中一些公式的“形”出发。数学中有很多公式，教师一般比较强调公式的应用，但对于利用有些公式“形”来对学生进行类比思想的培养则比较忽视。而利用公式的“形”培养学生的类比意识，是一种非常直观，学生比较容易接受的方式。比如等差数列与等比数列的通项公式。等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d，an = am+（n-m）d；等比数列的通项公式：an=a1qn-1 ，an=amqn-m（m，n∈N*）。可以把公式变形：an=a1+d+d+…+d？圮（类比）an=a1×q×q×…×q，an-am=（n-m）d？圮（类比）■=qn-m。学生通过观察、分析上述公式，容易得出两种数列之间可能存在的类比规律：

等比数列 d + - 0 系数

类比规律 ？邺 ？邺 ？邺 ？邺 ？邺

等差数列 q × ÷ 1 指数

一些常见的满足上述类比规律公式：①若m、n、k、l？缀N？鄢，且m+n=k+l，在等差数列中am+an=ak+al ；在等比数列中aman=akal 。②a、b、c成等差数列，则2b=a+c；a、b、c成等比数列，则b2=ac。③数列a■为等差数列，前n项的和Sn=na1+■d；数列a■为等比数列，前n项的积Tn=a■■q■，等等。类比规律的运用、验证示例如下。

例3：真命题：等差数列a■中，■=■成立，请把此性质推广到等比数列中，并证明是否成立。

根据此等式的特点，利用类比规律容易得出结论：在等比数列a■中，如果an>0，则等式（a■×a■）■=（a■×a■×…×a■）■成立。

例4：a■，a■，…，a■是公差为d的等差数列a■中的任意m项，若■=p+■，（0？燮r

根据此等式的特点，利用类比规律可以得出结论：a■，a■，…，a■是公比为q的等比数列a■中的任意m项（an>0），若■=p+■，（0？燮r

（3）从某一数学对象所具有的“性质”出发。在同一类数学对象所构成的集合中，如果某一个对象具有某种性质，那么其他数学对象是否也具有类似的性质呢？通过引导学生对一些已知的数学性质的研究，可以培养学生的类比思想。比如：在圆锥曲线中，双曲线具有某种性质，那么同属于圆锥曲线的椭圆是否也具有这样的性质？

例5：真命题：双曲线■-■=1具有如下性质：若直线x=t交双曲线于P、Q两点，A1、A2为双曲线的顶点，则A1P、A2Q的交点的轨迹是椭圆■+■=1，请运用类比的思想，对椭圆■+■=1写出类似的性质并证明是否成立。

分析：双曲线和椭圆都有顶点，但双曲线有两个，而椭圆有四个，那么双曲线的顶点到底对应椭圆的哪两个顶点呢？教师可让学生大胆想象，同时可以利用几何画板来验证各种情形，总结出类比规律：实轴？圮长轴，短轴？圮虚轴。根据类比规律，可以得出以下结论：若直线x=t交椭圆■+■=1于P、Q两点，A1、A2为椭圆长轴上的两顶点，则A1P、A2Q的交点的轨迹是双曲线■-■=1。

类似此例，通过对双曲线性质的研究，得出同属于圆锥曲线的椭圆的类似性质，这种类比方法属于平行类比。在圆锥曲线中，有很多性质都可以通过平行类比，创造出新命题。教师可以充分利用圆锥曲线的性质，对学生进行类比思想的培养。（篇幅所限，例略）

二、类比思想运用过程中的几个注意点

（1）类比不是命题的简单改写。在教学过程中，我发现有些同学把利用类比思想构造新命题的过程，简单地理解为命题的改写，产生不少错误。比如例3、例4中，漏了an>0这个等式成立的先决条件，例5中，把“双曲线的顶点”写成“椭圆的顶点”。在开展类比教学过程中，要向学生强调：类比研究的对象是两类数学对象或同一类数学对象不同个体，它们之间虽然可能具有相似性，但也分别具有自身的特性，必须区分清楚两者的不同之处，才能进行合理类比。

（2）通过类比得到的新命题未必成立。类比联想仅仅是构造新命题的一种方法，但所得命题未必成立。要让学生深刻地意识到：对于类比所得新命题，必须经过证明，才能判断其真假。合理类比，大胆联想，严格求证，才是科学的思想方法。

（3）论证方法的类比运用。在证明利用类比思想所得的新命题时，有些命题的论证方法可以与原命题的论证方法类比运用。比如：例1中，原命题可以把三角形分割成三个小三角形，利用“等面积”证明，新命题可以把正四面体分割成四个小四面体，利用“等体积”证明；例3中原命题可以利用等差数列的通项公式证明，新命题可以利用等比数列的通项公式证明，还有例4、例5的性质2都是如此。这种证明方法的迁移，可以让学生进一步增强类比意识。

总之，要培养学生创新精神，教师就应该重视对学生的类比思想的培养。在日常教学过程中，根据教材的内容，适时地对学生渗透类比的意识。将一些最为基础的数学概念、公式、性质这些学生比较熟悉的知识作为切入点，这样学生就比较容易理解、接受和掌握。

（上海市川沙中学）