利用方程根的对称性来解决几个问题

刘超

数学中的方程，简单地说是人们为了求解一些数之间的关系，因为直接求需要复杂的逻辑推理关系，而用代数和方程就很容易求解，从而降低难度.学生经过小学初中高中的学习，已经具备了列方程解决问题的意识，一般情况，列出式子终止分析，认为接下来只是枯燥的计算，而忽略了方程式子本身再次向我们发出的信号.若做进一步转化，或知识点的迁移，则可以达开阔眼界，换来灵感，简便运算之目的.高中阶段问题的设计经常涉及求值，求范围，而求值问题经常在方程思想的引领下将问题展开，通过直译法巧妙地设参数，将文字语言转化成代数式子，即设出一个量作为已知量，其他关系自然顺理.但是学生对转化出的方程再加工，再理解上遇到问题，主要原因是对于方程根的特点理解不够，研究方程最终转化到研究方程的根.因此我们处理方程时，应紧紧围绕根的特点（对称性，范围等），从而体现出研究目标量的终极目的.下面以一道高三复习课中利用方程根的对称性特点处理的题目为突破口，浅谈教学中利用方程根的对称性解题技巧的几点认识.

一、函数问题中涉及的方程根的对称美

问题1：函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]？哿D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）= -k是对称函数，求k的取值范围.

此题是道信息题（对称函数的概念），学生在条件的指示（单调性，定义域共同决定值域）下，套用概念很快地梳理出等式组 -l=-a -k=-b，但是接下来无从下手.

师：此等式组有变化元，也有非变化元，等式的特点从直观上给我们一个非常完美的对称性展示，把握好此信息源，我们能否对此等式组信息再加工提炼转化出新的信息吗？

学生思考片刻，很快发现原来a，b是方程 -k=-x的两个不同的实根.

师：提炼出此信息，那么我们如何刻画此方程有“两个”不同的实根呢？

学生甲：转化为两个函数图像交点进行体现.

学生乙：移项平方转化为实根分布处理（注意方程的等价性，注意根式大于等于零）.

学生丁：将根式换元构造新的方程再利用新方程实根分布处理.

师：以上方法都很好，归根结底，本题利用一般概念转化为两个特殊方程，从而再次转化出一般的结论，体现出我们认识事物的发展规律，由方程根的对称性得出解题方向.

二、解析几何问题中涉及的方程根的对称美

解析几何内容关键在于数形结合思想，用代数推理研究几何图形性质.而代数推理又与方程思想紧密相连，下面通过几道习题感受方程根的对称性给我们几点提示.

1.利用方程根的对称性推到特殊直线方程

问题2：若A（2，-3）是直线a x+b y+1=0和a x+b y+1=0的公共点，则经过相异两点（a ，b ），（a ，b ）的直线方程是什么？

学生采用直译法，很快得到方程组2a -3b +1=02a -3b +1=0.通过观察变量元的对称性，很快得出答案2x-3y+1=0.

问题3：设椭圆 + =1，p（x ，y ）是椭圆外一点，切点弦方程是什么？

解：设切点A（x ，y ），B（x ，y ），在圆的复习中，我们类比出过椭圆上点（m，n）的切线方程 + =1，p（x ，y ）是两条切线的交点同问题2处理得出切点弦方程 + =1.此结论可推广到圆与圆锥曲线中.

问题4：P（x ，y ）是椭圆中的点，过P点做弦，再过弦两端点做椭圆的两条切线，则两条切线的交点的轨迹是什么？

简证：一般情况下，设端点A（x ，y ），B（x ，y ），交点（x ，y ）， =

有 = + =1 + =1要求出交点横纵坐标关系貌似很复杂，但是我们观察方程的对称性之后发现利用方程（1）对方程（2）（3）进行构造利用这种对称美会轻松求解此方程.过程如下：

由方程（2） + =1

得 + =1- + ，

两边同除x -x 有 + =（1- - ）

同理有 + =（1- - ） ，等式右边相等得出交点轨迹方程为： + =1.此结论也可推广到圆与双曲线中.

师：解析几何内容的解题思路往往具有很强的程序性，但是，盲目操作经常会带来繁杂的计算.只要我们善于发现利用方程中根的对称性，巧妙地构造方程就可以简化运算.

2.利用方程根的对称性巧妙简化运算

问题3：已知椭圆 +y =1，过原点O作两条互相垂直的弦OM，ON交椭圆于M，N两点，求三角形OMN面积的最大值？

传统做法：当直线OM，ON斜率存在时，设直线OM为y=kx，直线ON为y=- x，有y=kx +y =1得x = y = ，同理将k换成- 得x = y = ，所以S = （x +y ）（x +y ），代入有S = （ + ）（ + ），式子化简得关于k的函数，将k换成- ，然后进行整理化简，显然式子太繁琐，究其原因这里我们进行了重复运算.分析求两点M，N方法，只是简单地类比，因此我们只要把握好方程根的对称性就可以简化式子形式，避免重复运算.

改进：设直线OM为y=k x，直线ON为y=k x，得x = y = ，x = y = ，得S = （ + ）（ + ）

即：S = （ ）（ ）

化简有S = （ ）.因为k k =-1（只要式子中出现k k 就整体消掉），所以原式化为S = （ ）.令t=k +k ，则S = （ ），通过求t范围，从而求出S 的范围.此处处理使运算式子清晰简约，使学生运算起来感觉更有趣，达到运算简便、运算外化的目的.

问题4：过曲线C： + =1的左顶点A作两条斜率分别为k ，k 的直线交椭圆于D，E两点，且k k =-n（n为常数），求证：直线DE恒过一个定点.

简证：（只考虑一般情况），由图形的对称性可判断出定点在x轴上，设直线DE：x=my+p，只需研究m，n等量关系即可.设D（x ，y ），E（x ，y ），有 =-n，把握好此方程的对称性只需构造出形如A（ ） +B（ ）+C=0的方程，利用韦达定理轻松得出m，p等量关系.构造如下： =1，巧妙利用1得方程 + =[ ] 化简整理得 + + - =0.

由 =-n，得（ - ）b =-n得p=- ，所以直线DE恒过定点（- ，0）.

补充：当两条两条直线的斜率和k +k 为常数，两条直线的斜率倒数和 + 为常数，都可以构造方程，利用韦达定理，根据方程根的对称性，简化运算，从而求出直线DE恒过一个定点.

数学是什么？数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐步抽象概括、形成方法和理论，并广泛应用的过程.“数学风格以简洁和完美的形式作为其目标”，数学知识原理、数学符号语言等本身就蕴含简洁对称之美，只要我们善于观察、发现、总结，就能发现数学中更多的潜在美.

参考文献：

[1]陈小鹏.谈谈简约化数学课堂教学.中学数学参考，2009年第12期上旬.

[2]龚新平.构造齐次方程探究定点问题.中学数学参考，2009年第8期上旬.