高等数学课程中定积分及其应用教学改革初探

赵侯宇

摘要：定积分及其应用在整个高等数学课程中占据着重要位置，可看作微分部分的后续课程，对培养学生进一步学习和研究的能力具有不可替代的作用。文章针对定积分及其应用的特点和当前教学中存在的问题，通过几道题目阐释了教学改革中应注意的一些问题。

关键词：高等数学 教学改革

定积分作为高等数学的重要组成部分占据着重要位置，这部分内容的几何意义比较明确，解题方法灵活多样.因此在教学中如何引导学生通过做练习的方式去自己体会、总结解题规律，特别是应用已学过的知识和已解决过的问题来处理未知问题就显得尤为重要。下面通过几个例子来说明解题经验积累的重要性。

例1 求■■cos（πt2）dt

分析：该题的上下限都是函数，而在课堂上老师教给学生的一般都只是变上限函数，即形如■f（t）dt，而对于这种上下都是变化的函数时，显然需要引导学生去总结。针对此题，如果学生知道了变上限函数该如何求导，再应用定积分的性质即可得到答案。

解：原式=■■cos（πt2）dt+■■cos（πt2）dt

=-■■cos（πt2）+■■cos（πt2）dt

=-cos（πsin2x）cosx-cos（πcos2x）sinx。

例2 求极限limx→0■

分析：经过观察可发现当x→0时，这是一个■型的问题，并且可用洛必达法则进行计算，此外，该题也考察了变上限函数的求导公式，如果学生对这些掌握熟练的话，相信很快便能写出答案。

解：原式=limx→0■=limx→0■

=limx→0■=2。

例3 求■e2xcosxdx

分析：如果教师在课堂上介绍了一类特殊定积分的求法，即■excosxdx，学生对此类习题经过一些练习后，会很快想到用类似方法进行计算。

解：令■e2xcosxdx=T

则原式=e2xsinx|■■-2■e2xsinxdx

=e2xsinx|■■-2[-e2xcosx|■■+2■e2xcosxdx]

=e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■-4T

从而可得原式=■[e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■]=■。

例4 求由下列曲线所围成的图形的面积：y=ex，y=e-x及直线x=1。

分析：此题考查学生对定积分在几何上的应用。教师在课堂上对平面图形面积的求法进行细致的分析，通过元素法使学生懂得平面图形面积的求法，那么此题即可解决。

解：先求出这几条曲线的交点，易求得交点为（1，e），（1，■），（0，1），取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[0，1]，相应于[0，1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条的面积近似于高为ex-e-x、底为dx的窄矩形的面积，从而得到面积元素：dA=（ex-e-x）dx

以（ex-e-x）dx为被积表达式，在闭区间[0，1]上作定积分，便得所求面积为：A=■（ex-e-x）dx=e+■-2。

例5 求下列曲线所围成的图形绕x轴旋转所产生的旋转体的体积。

y=arcsinx，x=1，y=0

分析：本题考察利用定积分求旋转体的体积，与上一题类似，学生需要知道通过体积元素来求得结果，对此需要将该旋转体的体积元素找到，才能进行运算。

解：首先求得几条曲线的交点为（0，0），（1，0），（1，■）。取横坐标为积分变量，它的变化区间为[0，1]，该旋转体中任一小区间[x，x+dx]的薄片体积近似于底半径为arcsinx，高为dx的扁圆柱体的的体积，即体积元素：

dV=π[arcsinx]2dx

于是所求旋转体体积为：

V=■π[arcsinx]2dx=π■t2cotdt=■π3-2π。

定积分及其应用作为高等数学的重要部分，相对来说易于理解，但由于解法的技巧性很强，导致学生经常无法做出答案，如何让学生更好的掌握教师交给的知识，在解题时熟练的应用是老师们一直在思考的问题。本文用几个例子说明了在高等数学的教学过程中，多加练习积累经验的重要性。笔者认为对于数学学科来说，只有多做练习才能使学生更好的掌握所学的抽象知识，加深对所学知识的理解，还可以帮助他们开阔思维、拓展视野、培养兴趣、增加学习积极性。在整个教学过程中，教师可以通过习题课培养学生自觉联系所学知识，使他们对课程产生兴趣

和学习的主动性，逐步提高该课程的教学质量和教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]薛志纯，余慎之，袁洁英.高等数学[M].北京：清华大学出版社，2008.

[3]张建国.《高等应用数学》定积分的教学探索[J].價值工程，2011（27）.