证题中平面向量的巧用

徐大刚

摘 要： 平面向量进入中学教材，为考生使用代数方法研究问题提供了强有力的工具.近几年高中改革的趋势是几何问题代数化，对于向量而言，它具有“双重身份”，不仅像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，而且能利用几何意义进行几何形式的变换.于是，它越来越频繁地成为联系多种知识的媒介.本文就平面向量自身的优越性例谈它在解决一些问题中的妙用.

关键词： 平面向量 证明 巧用

一、证明等式

例1：设（x■+y■）（m■+n■）=（mx+ny）■（mn？堍0），求证：■=■.

分析：由条件知x■+y■，m■+n■分别是坐标（x，y），（m，n）对应模的平方，而结论的变形nx-my=0是这两个向量共线的充要条件，从而可以构造向量求解.

证明：若x=y=0，结论显然成立.

若x，y不全为零，不妨设■=（x，y），■=（m，n），则cos<■，■>=■=■=1

∴<■，■>=0或<■，■>=π

∴■∥■ nx-my=0

∵mn≠0

∴■=■

二、证明不等式

例2：设-■≤a≤■，b≠0，a，b∈R，求（a-b）■+（■-■）■的最小值.

解：设■=（a，■）

∴|■|=■=■

■=（b，■） |■|=■

■-■=（a-b，■-■）

∵|■-■|≥|■|-|■|

∴■≥■-■≥3■-■=2■

即（a-b）■+（■-■）■≥8当且仅当b■=■即b=±3时取等号

故（a-b）■+（■-■）■的最小值为8.

例3：证明柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

证明：设■={a■，a■，a■，…，a■}，■={b■，b■，b■，…，b■}

∵■·■=■a■·b■ |■|=■ |■|=■

又∵|■·■|≤|■|·|■|

∴|■a■·b■|≤■

∴（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

评注：用向量证明不等式或用向量求函数的最值（或值域）的依据是我们常用的几个结论：

（1）由■·■=|■|·|■|·cosθ（其中θ是两向量的夹角）可知：

①■·■=|■|·|■|（当且仅当■，■同向时取等号）；

②|■·■|≤|■|·|■|（当且仅当■，■平行时取等号）；

③（■·■）≤|■|■·|■|■（当且仅当■，■平行时取等号）.

（2）|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|，当■，■同向时右边不等式取等号，当■，■反向时左边不等式取等号.

（3）|■|-|■|≤|■-■|≤|■|+|■|，当■，■反向时右边不等式取等号，当■，■同向时左边不等式取等号.

三、在三角函数中的应用

问题的解决必须找到最佳切入点，用向量解决问题.最佳切入口是分析向量结构，即研究向量之间关系.

例4：证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

分析：可以用类比联想的方法把cosαcosβ+sinαsinβ与x■x■+y■y■看做向量■=（x■，y■）与■=（x■，y■）的数量积，即■·■=x■x■+y■y■.因此cosαcosβ+sinαsinβ可以看做是两个向量的数量积.又从cos（α-β）入手，可以把（α-β）看做向量夹角.由数量积公式■·■=|■|·|■|·cos<■，■>，若|■|=1，■=1，则有■·■=cos<■·■>，利用单位圆即可解决.

证明：如图，设角α，β的终边与单位圆相交于A、B，则向量：

■=（cosα，sinα），■=（cosβ，sinβ），于是：

■·■=|■|·|■|·cos（α-β）=cos（α-β）

又∵■·■=cosαcosβ+sinαsinβ

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

例5：证明余弦定理

证明：如图所示设■=■，■=■，■=■

由■+■+■=■，得-■=■+■

∴（-■）■=（■+■）■

∴（■）■=（■）■+（■）■+2■·■

=（■）■+（■）■+2|■|·|■|cos（π-C）

=|■|■+|■|■+2|■|·|■|·cosc

∴c■=a■+b■-2abcosC

同理可得：a■=b■+c■-2bccosA b■=c■+a■-2cacosB

评注：通过构造向量解决三角函数问题，解法新颖而精巧，成功地将较繁琐的三角函数问题转化为向量问题，解法简洁流畅.解这类问题时，关键是要熟练地掌握向量数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的数学问题进行求解，体现了“向量问题函数化，函数问题向量化”的等价转化思想.其中，模的平方与向量数量积之间的关系|■|■=■·■=x■+y■，■=（x，y）是向量与实数互换的依据和桥梁，也是重要的转化思想.

四、在平面几何中的应用

例6：（点到直线的距离公式的证明）

问题：已知点P（x■，y■）到直线l：Ax+By+C=0的距离为d，求证：d=■.

证明：设Q（x，y），Q■（x■，y■）是直线l上任意两个不同的点，则■■=（x-x■，y-y■）

∵A、B不同时为零

∴记非零向量■=（A，B）endprint

∵Q■，Q都是直线l上的点

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■与直线l垂直

设■·■=|■|·cosθ，则点P到l的距离为：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一个圆的直径的端点分别为A（x■y■），B（x■，y■），求证：圆的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

证明：设P（x，y）是圆上任意一点，则

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

评注：用向量方法处理几何问题，既能反映对象之间的数量关系，又能体现它们之间的位置关系，从而能运用数形结合的方法研究几何问题.但是利用向量方法解决几何问题时，要注意紧密结合平面图形中的已知的位置关系和数量关系，如有垂直关系时，应注意联想应用向量的数量积等于0；与线段比值有关的问题，应注意联想定比分点知识或者共线向量；与夹角有关时，应注意联想应用向量的数量积的定义等进行求解.

五、在数列中的应用

例8：等差数列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通项公式a■=a■+（n-1）d可整理为a■=dn+a■-d可知点列（n，a■）n∈n■均落在直线y=dx-a■-d，即直线的斜率即为公差，可用向量共线处理.

解：由题意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共线

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：给定正整数n和正数M，对满足条件a■■+a■■≤M的所有等差数列a■，a■，a■，…，，试求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差数列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是设■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

当3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M时

上式两等号同时成立，此时S■=■（3a■-a■）=■■.

评注：用向量的方法解决数列结合的问题，首先就是利用“坐标”，进而运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，但是在转化过程中要注意，向量的坐标表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，这与点的坐标的意义是不同的.

向量是现代数学的重要标志之一，被引入中学教材后，大大丰富了中学数学知识和结构体系，拓展了中学数学问题的思维空间.由于向量融数与形于一体，因此成了中学数学中的一个重要工具，得到了广泛应用.

参考文献：

[1]全日制普通高级中学教科书数学第一册（下）.人民教育出版社.

[2]黄爱民.向量的数量积求解数学问题的探究.试题与研究.中学学习报社.

[3]庄瑞国.向量数量积的一个性质的应用.高中数学教与学.endprint

∵Q■，Q都是直线l上的点

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■与直线l垂直

设■·■=|■|·cosθ，则点P到l的距离为：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一个圆的直径的端点分别为A（x■y■），B（x■，y■），求证：圆的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

证明：设P（x，y）是圆上任意一点，则

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

评注：用向量方法处理几何问题，既能反映对象之间的数量关系，又能体现它们之间的位置关系，从而能运用数形结合的方法研究几何问题.但是利用向量方法解决几何问题时，要注意紧密结合平面图形中的已知的位置关系和数量关系，如有垂直关系时，应注意联想应用向量的数量积等于0；与线段比值有关的问题，应注意联想定比分点知识或者共线向量；与夹角有关时，应注意联想应用向量的数量积的定义等进行求解.

五、在数列中的应用

例8：等差数列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通项公式a■=a■+（n-1）d可整理为a■=dn+a■-d可知点列（n，a■）n∈n■均落在直线y=dx-a■-d，即直线的斜率即为公差，可用向量共线处理.

解：由题意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共线

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：给定正整数n和正数M，对满足条件a■■+a■■≤M的所有等差数列a■，a■，a■，…，，试求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差数列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是设■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

当3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M时

上式两等号同时成立，此时S■=■（3a■-a■）=■■.

评注：用向量的方法解决数列结合的问题，首先就是利用“坐标”，进而运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，但是在转化过程中要注意，向量的坐标表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，这与点的坐标的意义是不同的.

向量是现代数学的重要标志之一，被引入中学教材后，大大丰富了中学数学知识和结构体系，拓展了中学数学问题的思维空间.由于向量融数与形于一体，因此成了中学数学中的一个重要工具，得到了广泛应用.

参考文献：

[1]全日制普通高级中学教科书数学第一册（下）.人民教育出版社.

[2]黄爱民.向量的数量积求解数学问题的探究.试题与研究.中学学习报社.

[3]庄瑞国.向量数量积的一个性质的应用.高中数学教与学.endprint

∵Q■，Q都是直线l上的点

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■与直线l垂直

设■·■=|■|·cosθ，则点P到l的距离为：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一个圆的直径的端点分别为A（x■y■），B（x■，y■），求证：圆的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

证明：设P（x，y）是圆上任意一点，则

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

评注：用向量方法处理几何问题，既能反映对象之间的数量关系，又能体现它们之间的位置关系，从而能运用数形结合的方法研究几何问题.但是利用向量方法解决几何问题时，要注意紧密结合平面图形中的已知的位置关系和数量关系，如有垂直关系时，应注意联想应用向量的数量积等于0；与线段比值有关的问题，应注意联想定比分点知识或者共线向量；与夹角有关时，应注意联想应用向量的数量积的定义等进行求解.

五、在数列中的应用

例8：等差数列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通项公式a■=a■+（n-1）d可整理为a■=dn+a■-d可知点列（n，a■）n∈n■均落在直线y=dx-a■-d，即直线的斜率即为公差，可用向量共线处理.

解：由题意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共线

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：给定正整数n和正数M，对满足条件a■■+a■■≤M的所有等差数列a■，a■，a■，…，，试求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差数列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是设■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

当3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M时

上式两等号同时成立，此时S■=■（3a■-a■）=■■.

评注：用向量的方法解决数列结合的问题，首先就是利用“坐标”，进而运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，但是在转化过程中要注意，向量的坐标表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，这与点的坐标的意义是不同的.

向量是现代数学的重要标志之一，被引入中学教材后，大大丰富了中学数学知识和结构体系，拓展了中学数学问题的思维空间.由于向量融数与形于一体，因此成了中学数学中的一个重要工具，得到了广泛应用.

参考文献：

[1]全日制普通高级中学教科书数学第一册（下）.人民教育出版社.

[2]黄爱民.向量的数量积求解数学问题的探究.试题与研究.中学学习报社.

[3]庄瑞国.向量数量积的一个性质的应用.高中数学教与学.endprint