长初级双边直线感应电机纵向动态端部效应第一部分:气隙磁场

杨通， 周理兵

(1.北京航天控制仪器研究所，北京100039;2.华中科技大学电气与电子工程学院，湖北武汉430074)

0 引言

根据初级与次级相对长度的不同，直线感应电机可分为短初级和长初级两种结构型式。短初级结构由于制造和运行成本低、能量消耗少，被广泛应用于工业设备和交通运输系统中［1］。而长初级结构的次级为运动部件，由整块金属铜板或铝板构成，具有重量轻和散热性能好的优点，同时，初级绕组固定在地面上，无需复杂的移动电缆或集电装置，增强了供电的可靠性。因此，长初级直线感应电机在电磁发射系统、车辆碰撞试验装置和冲压机等短程高速运行领域具有广阔的应用前景［2－3］。

与旋转感应电机相比，直线感应电机的初级铁心或次级导电板在纵向两端是开断的，形成了直线形气隙的一个入端和一个出端。电机运行时，气隙中除了工作所需的行波磁场外，还存在由这两个开断端口而产生的多种附加磁场，它们叠加在基本行波磁场上，使电机的气隙磁场发生畸变、三相反电动势和电流不平衡、次级涡流分布不均匀，进而产生附加损耗和附加推力，使电机的稳态与动态性能仿真、电磁推力的准确预测和控制系统的设计均比旋转感应电机更加困难。通常，把这种由入端和出端对电机磁场和性能产生的影响称为纵向端部效应，其中，由初级与次级相对运动而产生的电瞬态现象被称为纵向动态端部效应［4］，在高速电机中，这种效应对电机磁场和性能的影响非常明显［5］。

目前，许多学者通过电磁场解析法［6－9］、有限元法［10－13］或实验验证［14－15］等方法对直线感应电机纵向动态端部效应进行了广泛的研究。然而，已发表的文献几乎均以短初级结构作为研究对象，虽然长初级和短初级两种拓扑在结构上具有对偶性，分析方法也具有相似之处，但是由于磁场方程在纵向边端的边界条件不同，使气隙磁密和次级涡流的分布存在差异，进而影响推力特性。目前，对长初级直线感应电机纵向动态端部效应的研究较少［4，16－17］，文献［4］通过解析法求解了电机的气隙磁密;文献［16］根据场路耦合法推导出考虑端部效应影响时电机的等效电路，然而，这些文献均未对端部效应对气隙磁场的影响进行分析。

由于求解磁场分布是预测电机反电动势波形、计算涡流损耗和推力的基础，虽然磁场分布可以通过有限元等数值计算方法求出，但通常比较耗时，并且不像解析法能够较为直观地认识到变量之间的关系和影响程度。因此，本文以长初级双边直线感应电机为研究对象，建立和求解考虑纵向动态端部效应时的一维磁场方程，得到这种电机气隙磁密的解析表达式，定量分析端部效应行波的特性及对气隙磁场的影响。给出端部效应特征参数随电机设计参数的变化规律及对电机性能的影响。通过二维有限元数值计算验证本文解析求解的正确性。

1 气隙磁场方程的建立

1.1 一维磁场方程的建立与求解

长初级双边直线感应电机的数学模型如图1所示，虽然电机磁场与电流的空间分布属于三维场，但经过合理简化，纵向动态端部效应可采用一维场分析，从而可得到便于实际应用的解析解。在一维时谐电磁场计算中，各场量仅在x轴方向(纵向)变化且随时间正弦交变，假设初级铁心磁导率μFe=∞、电导率σFe=0，初级绕组用等效行波电流层代替，等效原则为令绕组电流产生的磁动势基波幅值与等效行波电流层产生的磁动势幅值相等，则初级行波电流密度可表达为

图1 长初级双边直线感应电机的数学模型Fig.1 Mathematical model of LP-DSLIM

由图1可知，在区域Ⅰ(0＜x＜2pτ)中，气隙磁场由初级电流与次级电流共同产生，根据安培环路定律，取如图1所示的矩形积分路径可得

式中:Hδ为气隙磁场强度;2ge为经过卡特系数修正后的双边初级铁心之间的等效气隙长度;2d为次级厚度;j2为次级体电流密度，可以表达为

式中:Eδ为次级电场强度;Bδ为气隙磁密;σ为次级体电导率;v为次级运行速度。

由法拉第电磁感应定律可得式中，μ0为空气磁导率。

将式(4)对x求偏导数，并将式(2)、式(3)代入可得

其中，3 个分量 Bδ0、Bδ1和 Bδ2的幅值和相位分别为

参数 λ1、λ2和 τe的表达式分别为

为了确定C1和C2，还需求出图1区域Ⅱ(x＜0)和区域Ⅲ(x＞2pτ)中气隙磁密的表达式。在区域Ⅱ和Ⅲ中，仅有初级行波电流层而无次级电流，则在区域Ⅰ与Ⅱ，区域Ⅰ与Ⅲ的法向边界上，磁场强度的切向分量连续，由此可确定C1和C2，如式(17)和式(18)所示，具体求解过程参见文献［18］。

至此，长初级直线感应电机气隙磁密表达式中的各项系数均已求出。由式(6)可知，与短初级结构一样，长初级直线感应电机的气隙磁密也由3种行波磁场叠加而成，分别为半波长为τ的正向基本行波Bδ0，衰减常数为λ1、半波长为τe的正向入端行波Bδ1以及衰减常数为λ2、半波长为τe的反向出端行波Bδ2。其中，Bδ0即为与旋转感应电机沿圆周闭合的旋转磁场所对应的气隙磁密，而在长初级直线感应电机中，由于次级在纵向不连续，气隙磁密除了Bδ0分量，还存在 Bδ1和 Bδ2分量，它们叠加在基本行波上，使合成磁场发生畸变，通常把Bδ1和Bδ2统称为纵向端部效应行波。

同样由式(6)可知，虽然3种行波的角频率均为ω，但端部效应行波的半波长τe与基本行波的半波长τ不相等，因而端部效应行波的波速ve也不同于基本行波的波速vs，其波速为

1.2 电机高速运行时的磁场特性

在直线电机的研究中，通常根据磁雷诺数的大小将电机分为高速电机与低速电机［5］。在长初级直线感应电机的应用中，通常更关注其高速运行时的磁场特性。

在高速时，k1(1 －s)≫4β，衰减常数 λ1→∞，λ2→0，即 λ1≫λ2。因此，λ1将远大于次级长度 2pτ，入端行波在整个次级长度范围内都存在，并且衰减极为缓慢，因而对气隙磁场及电机性能影响较大。而λ2→0表明在高速时，出端行波衰减极快，仅在出端很短的范围内存在，对气隙磁场及电机性能几乎没有影响。

在高速时，端部效应行波的半波长和波速分别被简化为

式(21)表明，在高速时，端部效应行波的波速与次级运行速度几乎相同。同样，复量系数C1和C2分别被简化为

式(23)表明电机在高速运行时，气隙磁场仅由基本行波和入端行波组成，出端行波可忽略不计，即气隙磁密可表达为

2 气隙磁密分析

2.1 行波磁场特性分析

以一台vs=100 m/s的高速长初级双边直线感应电机为例，对3种行波磁场的特性进行分析计算，样机的基本参数为:半波长(极距)τ=0.125 m;供电频率f=400 Hz，次级电导率σ=1.908 4×107S/m;单边行波电流层幅值J1=6.53×104A/m;次级厚度2d=5 mm;等效气隙长度2ge=15 mm;次级长度2pτ=0.5 m;初级铁心宽度2a=0.09 m;次级宽度2c=0.17 m。

由式(7)和式(8)可知，当电机参数和初级电流密度确定后，Bδ0的幅值以及 Bδ0与 j1的相位差 δ仅为滑差率s(或次级速度v)的函数。图2为样机的B0和δ随次级速度的变化曲线，由图可知，在低速时，B0和δ的数值都很小，而当v增加至90 m/s后，B0和δ均快速增加，表明电机在高速运行时，随着次级速度逐渐接近同步速，次级切割磁场的频率降低，感应涡流产生的磁场对初级磁场的削弱作用减小。当v达到100 m/s时，B0即为理想空载时的磁密幅值。而对于δ，当v接近100 m/s时，δ趋近于90°，表明 Bδ0与 j1在相位上正交。

图2 B0和δ随电机速度v的变化曲线Fig.2 Variations of B0and δ with the motor velocity v

同样，由式(9)～ 式(12)可知，Bδ1和 Bδ2的幅值以及它们与j1的相位差不仅是滑差率s的函数，而且是空间位置x的函数。图3为B1和Δθ1随次级速度和空间位置的变化情况，图4为B2随次级速度和空间位置的变化情况，可以看出，Bδ2仅在次级出端存在。

图3 B1和Δθ1随电机速度v和空间位置x的变化情况Fig.3 Variations of B1and Δθ1with the motor velocity v and position x

图4 B2随电机速度v和空间位置x的变化情况Fig.4 Variation of B2with the motor velocity v and position x

图5为t=0时，滑差率s分别为0.05和0.3时的合成磁密 Bδ及其 3 种分量 Bδ0、Bδ1和 Bδ2的波形。在图5(a)中，电机速度v=95 m/s，由于λ1较大，因而Bδ1在次级长度范围内均存在且衰减缓慢，使合成磁密幅值有所增加。此外，由于τe与τ相差不大，因此合成磁场波形的畸变并不严重，电机速度越高，τe越接近τ，合成磁场波形的畸变越小，其相位将趋向于滞后Bδ0一个固定的角度。在图5(b)中，电机速度v=70 m/s，Bδ1在次级长度范围内的衰减已较为明显，其幅值也明显大于Bδ0的幅值，使合成磁场分布受其主导。

图5 t=0时的气隙磁密波形Fig.5 Waveforms of the airgap magnetic flux density at t=0

图6为图5所对应的2种速度时合成磁密及其3种分量的幅值，由图可知，Bδ0的幅值随着电机速度的增加而增加，其原因已根据图2进行了解释。Bδ1使合成磁密幅值远大于Bδ0的幅值，并且电机速度越高，Bδ1及合成磁密 Bδ的幅值衰减越慢。例如，由图6(a)可知，合成磁密幅值几乎达到了Bδ0幅值的两倍，由此可以预见，在高速时，入端行波磁场将对长初级直线感应电机的电磁设计和性能计算产生较大影响。此外，可以看出，无论在任何速度下，Bδ2对合成磁场几乎无影响。

由上述分析可知，受到纵向动态端部效应的影响，长初级结构在高速时的合成磁密幅值远大于基本行波的磁密幅值，并且在整个次级长度范围内基本保持不变。而文献［5］通过求解一维磁场方程，对短初级直线感应电机的气隙磁密进行了较为详细的分析，分析结果认为，当电机高速运行时，入端磁密被削弱而出端磁密得到增强，合成磁密幅值从入端到出端几乎线性增加，当电机接近同步速时，在整个初级长度范围内，入端行波与基本行波几乎大小相等，方向相反，合成磁密被严重削弱。由此可见，长初级与短初级直线感应电机的气隙磁场分布存在较大差异，尤其当电机在高速运行时更为明显。

图6 气隙磁密幅值Fig.6 The amplitude of the airgap magnetic flux density

2.2 有限元法验证

为了验证磁场解析计算的正确性，利用有限元软件ANSYS对样机进行二维时谐场数值计算，有限元计算模型如图7所示。由于双边结构的对称性，只需建立上半部区域(y＞0)的模型，初级铁心内表面加载以频率f正弦交变、沿x轴正向移动的行波电流密度，次级赋予电导率特性和速度效应特性，初级在次级纵向两端各伸出两个极距的长度。模型纵向两端(1A和1B)施加偶对称周期边界条件，高导磁铁心边界(1C)施加磁通平行边界条件，纵向对称轴(1D)施加磁通垂直(自然)边界条件。

图7 长初级双边直线感应电机的有限元计算模型Fig.7 Finite element model for LP-DSLIM

图8分别比较了在模型长度范围内，解析法和有限元法得到的合成气隙磁密波形，其中，有限元计算结果取y=0处磁密的y分量。由图可知，解析法的计算结果略大于有限元法的结果，这是由于在二维有限元模型中，某一x点处磁密的y分量沿y轴分布不均匀，在y=0处其数值最小，沿着y轴正向和负向均逐渐增加，而解析法基于一维场求解，在某一x点处磁密沿y轴方向无变化，其结果为初级电流层处最大的磁密y分量，但总体而言，两者的计算结果基本一致，从而证明了本文所推导的解析公式的正确性。此外，从图中还可以直观地看出，次级纵向两侧的空载磁场仅由初级行波电流产生，与之相比，滑差率越大，次级涡流对初级磁场的削弱作用越强。

图8 解析法与有限元法得到的合成磁场波形比较(t=0)Fig.8 Comparison of the resultant airgap magnetic field by analytical method and finite element method(t=0)

图9为v=95 m/s和v=30 m/s时气隙与次级中的磁场分布，可以看出，电机在不同速度时，磁场分布具有差异。在高速时，磁场y分量占主导地位，而在低速时，磁场x分量逐渐增加，磁力线沿纵向被拉伸。

图9 气隙与次级中的磁场分布(t=0，实部)Fig.9 Magnetic field distribution in the airgap and in the secondary region(t=0，real part)

3 端部效应特征参数对电机性能的影响

通过气隙磁密的表达式，可以直观地认识到纵向动态端部效应对电机磁场分布的影响。根据式(6)，当已知 λ1、λ2、τe和 ve的数值后，就能确定端部效应行波的特性，因此，通常把这4个参数称为端部效应特征参数。由式(14)～式(16)和式(19)可以看出，端部效应特征参数是滑差率s和品质因数G的函数，因此，只要知道G的大小，就能方便地对端部效应特征参数的变化规律进行评估。而由式(13)可知，G又为次级厚度2d、等效气隙长度2ge、次级电导率σ、供电频率f、极距τ等电机设计参数的函数，因此，端部效应特征参数即为次级运行速度v与上述电机设计参数的函数，通过调整设计参数，就有可能改变端部效应行波的分布，从而削弱其对电机性能产生的不利影响。

图10为样机端部效应特征参数随品质因数的变化关系，每个子图中均有5条曲线，G分别为10、20、30、40和50。由图可知，在高速和低速运行区间，G对端部效应特征参数的影响存在差异，在高速时，λ1随G的增大而增大，λ2随G的增大而减小，而τe和ve对G的变化不敏感。由前述分析可知，由于λ1对电机气隙磁场的影响较大，因此，为了使入端行波较快衰减，λ1应越小越好，即G越小越好，换句话说，为了削弱端部效应，应减小电机极距、次级厚度和电导率，或者增加等效气隙长度和供电频率。然而必须注意到，由旋转感应电机的设计概念可知，上述削弱端部效应的措施也将降低电机的基本性能，对于直线电机也是如此，例如，增加气隙长度或减小次级电导率会使电机的功率因数和效率下降。因此，在电机设计中，必须在提高基本性能和削弱端部效应的影响之间进行平衡，综合考虑设计参数对电机性能的影响。

图10 端部效应特征参数随品质因数的变化关系Fig.10 Variations of the characteristic parameters for the end effect with the goodness factor

4 结语

本文建立了长初级双边直线感应电机考虑纵向动态端部效应时的一维时谐磁场方程，求出了气隙磁密基本行波和端部效应行波的解析表达式，并通过二维有限元数值计算验证了解析求解的正确性。以一台样机为例，给出了3种行波磁场及合成磁场的幅值、相位和波形的变化规律，重点分析了高速时端部效应对气隙磁场分布的影响。给出了衰减常数、半波长和波速等端部效应特征参数随品质因数的变化规律。实验结果表明，长初级与短初级结构的气隙磁场分布存在较大差异，尤其当电机在高速运行时更为明显。减小品质因数，即通过增大有效气隙长度和供电频率、减小次级厚度和电导率可以有效削弱纵向动态端部效应，但这些方法也会降低电机的正常运行性能，在电机设计时应综合考虑。

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