具有无穷远奇点的Z2－等变平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类 (Ⅰ)

李艳梅

(楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000)

极限环的数量和分布问题一直是微分方程定性理论研究的一个重要内容，而扰动方法是研究极限环问题的一个常用的方法。但是，用扰动的方法研究极限环的数量和分布时，需要先得到未扰动系统的相图。最近几年来，关于七次平面哈密顿向量场的研究结果在逐渐增多［1—7］，但仍然有许多系统尚待研究。本文将对如下的具有Z2－等变性质的七次哈密顿向量场的相图进行分类

得到一些新的相图，其中α＞0是一个参数。

1 系统(1)的奇点及其性质

系统(1)的雅可比行列式是

其中

关于系统(1)，我们有以下的相关结果:

引理 1［7］对正数 a，b，c，l，m，n，系统

在一、二象限内有两个无穷远奇点。

由(2)式及引理1，我们得到

定理1 在上半平面内，奇点(0，0)，(± b，0)，(0，m)，(± a，l)，(± c，l)，(± b，m)，(± a，n)和(±c，n)是系统(1)的鞍点，其他奇点是系统(1)的中心。此外，系统(1)有四个无穷远奇点。

2 系统(1)的相图及其分类

系统(1)的哈密顿量是

不难看出，函数 H(x，y)满足等式 H(x，y)=H(x，0)+H(0，y)并且有

若分别记 H(0，0)，H(± a，0)，H(± b，0)，H(± c，0)，H(0，l)，H(0，m)，H(0，n)为 h00，ha0，hb0，hc0，h0l，h0m，h0n，则有

显然，hb0＜ ha0，h0l＜ h0m，h0n＜ h0m.

比较奇点处的哈密顿量，可以得到下列结果:

定理2

(1)当0＜α＜0.05时，系统(1)的相图为1(1)。

(2)当α=0.05时，系统(1)的相图为1(2)。

(3)当0.05＜α＜0.318542时，系统(1)的相图为1(3)。

(4)当α=0.318542时，系统(1)的相图为1(4)。

(5)当0.318542＜α＜0.391746时，系统(1)的相图为1(5)。

(6)当α=0.391746时，系统(1)的相图为1(6)。

(7)当0.391746＜α＜1.21859时，系统(1)的相图为1(7)。

(8)当α=1.21859时，系统(1)的相图为1(8)。

(9)当1.21859＜α＜1.65258时，系统(1)的相图为1(9)。

(10)当α=1.65258时，系统(1)的相图为1(10)。

(11)当1.65258＜α＜1.75389时，系统(1)的相图为1(11)。

(12)当α=1.75389时，系统(1)的相图为1(12)。

(13)当α＞1.75389时，系统(1)的相图为1(13)。

证明 为了节省篇幅，下面只证明(2)、(4)、(6)、(8)、(10)和(12)几种情形，其它情形的证明类似。

(2)当α=0.05时，h0l=h0n，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l=h0n＜hbl=hbn＜hal=han=hcl=hcn＜h00＜hb0＜ha0=hc0＜h0m＜hbm＜ham=hcm，由此得到系统(1)的相图1(2)。

(4)当α=0.318542时，相应地有hcn=h0m，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l＜hbl＜hal=hcl＜h0n＜hbn＜han=hcn=h0m＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系统(1)的相图1(4)。

(6)当α=0.391746时，hal=h0m，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l＜h0n＜hbl＜hal=hcl=h0m＜hbn＜han=hcn＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系统(1)的相图1(6)。

(8)当α=1.21859时，han=hbm，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl＜hbn＜han=hcn=hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系统(1)的相图1(8)。

(10)当α=1.65258时，hal=h00，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl=h00＜hbn＜hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系统(1)的相图1(10)。

(12)当α=1.75389时，hal=hbm，且奇点处的哈密顿量满足不等式h0l＜h0n＜h0m＜h00＜hbl＜hbn＜hal=hcl=hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系统(1)的相图1(12)。

图1 (1)～(13)系统(1)的相图

本文所得到的相图与其他文章所得到的都不一样，是关于七次哈密顿系统相图研究的新结果。

［1］李艳梅.具有Z8－等变性质的平面七次哈密顿向量场的一般形式及其相图 ［J］.楚雄师范学院学报，2010，25(12):32—35.

［2］Li Jibin.Hilbert’s 16thproblems and Bifurcations of Planar Polynomial Vector Fields ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2003，13(1):47—106.

［3］Li Jibin et al.Bifurcations of Limit Cycles in a Z2－ equivariant Planar Polynomial Vector Field of Degree 7 ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2006，16(4):925—943.

［4］Li Yanmei.The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with Z2－Equivariant Property［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2011，26(9):47—50.

［5］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅰ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(6):1—5.

［6］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅱ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(9):1—5.

［7］李艳梅.一类具有Z2－等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类 ［J］.井冈山大学学报，2013，34(2):7—12.