论数学建模教学中创新实践能力的培养

李向军

摘 要： 培养大学生创新实践能力是高等教育的重要内涵.本文以整数规划求解图色数问题为例， 探讨在数学建模教学中如何提高大学生的创新实践能力等问题.

关键词： 数学建模教学 创新能力 实践能力

创新是一个民族进步的灵魂，培养大学生的创新实践能力是高等学校教育的重要内涵.数学建模课程是高等教育中一门重要课程，它主要研究通过合理的假设，运用适当的数学工具建立数学模型解决实际问题的方法，内容涉及工程技术、经济管理、社会生活等各个领域，是培养学生创新实践能力的很好载体[1].数学建模教学的过程应该是一个培养学生创新能力和实践能力的过程.数学建模教学要求教学方法的创新、改革[2].在目前的环境下，改进数学建模的教学方法，提高学生的创新实践能力显得尤为重要.

一、创设情境，激发学生探索欲望

在数学建模教学中，教师要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题.让学生亲口尝一尝梨子的滋味，亲身体验数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验[3].在理论课教学中可以适度开放教学内容，创设情境，激发学生的创新意识和探索欲望，并给学生留有一定的思考和创新的空间.例如，某些问题可以通过案例进行教学，可将问题提给学生.

频道分配问题：某地区有n家电视发射台T ，T ，…，T ，主管部门给每家电视台分配一个发射频道.为排除同频干扰，使用相同频道的发射台之间相距必须大于一定的距离d，问：你认为该地区至少需要多少个频道？如何分配？

这个问题与现实生活联系十分紧密，有深厚的实际背景.对学生来说，这个问题有一定的难度，但是学生很感兴趣，都有跃跃欲试的冲动.问题提出来后，老师并不给出方法，将发挥的空间留给学生，让他们讨论和查找书籍资料完成.

二、进行研究性学习，培养学生创新能力

学生带着疑问和求知的渴望，对上面的问题进行分析和考虑后发现这样的规律，它属于限制某两个有特殊关系的对象（电视台）禁止有相同的属性（频道）的安排问题.这类问题适合转化为图论模型进行分析.

通过查询组合数学和图论[4]相关书籍，将n家电视发射台对应n个顶点，两个顶点邻接当且仅当它们代表的电视发射台相距大于距离d，这样得到一个图G.图G的色数x（G）就是所需频道的最少数目，所以这个问题归结到图的色数问题.学生在这个过程中是自己重新发现问题的模型，老师并不参与，这样有利于培养学生的发散性思维，提高学生的创新能力.

如何求解色数问题呢？同学们查询书籍知道色数的确定目前没有好的算法，怎样根据自己所学的知识求解是学生面临的又一次考验.有的学生注意到色数问题实际上是一个带约束的安排问题，想到了采用整数规划方法.当图的规模不是很大时，给出一个整数规划解法求解图色数问题是很有意义的.

通过查阅组合数学和图论[4]中染色理论的相关资料可以知道，对一个连通图G=（V，E），如果不是奇圈和完全图，则f（G）≤△.对除了奇圈和完全图之外的图G，可以选一个颜色集合{1，2，…，△}给G顶点着色，我们的目标是相邻点不同色，且使用颜色最少.

用颜色1，2，…，k（k≤△）给点v （i=1，2，…n）着色，引入0-1变量x ，y ，使得：

x =1，点v 着k色0，其他，y =1，使用颜色k0，其他

图G的邻接矩阵为A=（a ） ，

目标函数：MinZ= y ，

约束条件为：

（1）每个顶点只能着一种颜色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）两顶点有边相连则不能使用同色，则：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）当给顶点v 着k色，意味着一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是给出用最少的颜色的方案，因此应该避免出现k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

综上所述，色数问题可以转换成如下0-1规划：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以说学生从建立图色数模型到给出图色数的整数规划解法都是在进行一次自主研究性学习和探索.在探索过程中，更注重的是方法和思路，而不要太强调理论证明.在这个过程中，学生是认知的主体，教师主要起到适当引导和答疑的作用.这样开拓学生的思路，使他们有自我成就感，同时也感受到学习的乐趣.

三、编写程序，强化学生实践技能

实践环节对培养学生掌握知识技能、科研方法，提高创新能力具有重要的作用.在数学建模教学中，学生掌握基本数学模型、编程语言，如Matlab，LINGO等工具软件后，应该利用软件编写程序将模型内容进行数值求解.这是一个很重要的过程.通过软件编程进行实现不仅可以验证建立模型的正确性，而且可以得到一般性的解决方案.值得指出的是，在程序的编写过程中，往往不是一蹴而就的，学生都会在编写过程中调试修改，甚至是改变解决方案.在这一环节中，学生不断调整思路，突破知识瓶颈，最终解决问题，使得他们分析和解决问题的能力得到提高.

四、结语

在数学建模教学过程中，学生是主体.学生通过学习数学建模课程，获取新知识和新经验，同时也体会到应用数学知识解决实际问题的重要性.教师在数学建模教学中激发学生兴趣，引导学生研究性学习，辅导学生编程实践，通过一整套流程培养学生的创新精神，增强学生的动手意识，这对学生的洞察能力、发散思维能力、创新实践能力的提高大有裨益.

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜礼平，李卫军，戴明强.数模竞赛与创新教育[J].数学的实践与认识，2001（5）：633-634.

[3]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.图论及其应用[M].中国科学技术大学出版社，2010.

基金项目：长江大学教研项目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培养大学生创新实践能力是高等教育的重要内涵.本文以整数规划求解图色数问题为例， 探讨在数学建模教学中如何提高大学生的创新实践能力等问题.

关键词： 数学建模教学 创新能力 实践能力

创新是一个民族进步的灵魂，培养大学生的创新实践能力是高等学校教育的重要内涵.数学建模课程是高等教育中一门重要课程，它主要研究通过合理的假设，运用适当的数学工具建立数学模型解决实际问题的方法，内容涉及工程技术、经济管理、社会生活等各个领域，是培养学生创新实践能力的很好载体[1].数学建模教学的过程应该是一个培养学生创新能力和实践能力的过程.数学建模教学要求教学方法的创新、改革[2].在目前的环境下，改进数学建模的教学方法，提高学生的创新实践能力显得尤为重要.

一、创设情境，激发学生探索欲望

在数学建模教学中，教师要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题.让学生亲口尝一尝梨子的滋味，亲身体验数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验[3].在理论课教学中可以适度开放教学内容，创设情境，激发学生的创新意识和探索欲望，并给学生留有一定的思考和创新的空间.例如，某些问题可以通过案例进行教学，可将问题提给学生.

频道分配问题：某地区有n家电视发射台T ，T ，…，T ，主管部门给每家电视台分配一个发射频道.为排除同频干扰，使用相同频道的发射台之间相距必须大于一定的距离d，问：你认为该地区至少需要多少个频道？如何分配？

这个问题与现实生活联系十分紧密，有深厚的实际背景.对学生来说，这个问题有一定的难度，但是学生很感兴趣，都有跃跃欲试的冲动.问题提出来后，老师并不给出方法，将发挥的空间留给学生，让他们讨论和查找书籍资料完成.

二、进行研究性学习，培养学生创新能力

学生带着疑问和求知的渴望，对上面的问题进行分析和考虑后发现这样的规律，它属于限制某两个有特殊关系的对象（电视台）禁止有相同的属性（频道）的安排问题.这类问题适合转化为图论模型进行分析.

通过查询组合数学和图论[4]相关书籍，将n家电视发射台对应n个顶点，两个顶点邻接当且仅当它们代表的电视发射台相距大于距离d，这样得到一个图G.图G的色数x（G）就是所需频道的最少数目，所以这个问题归结到图的色数问题.学生在这个过程中是自己重新发现问题的模型，老师并不参与，这样有利于培养学生的发散性思维，提高学生的创新能力.

如何求解色数问题呢？同学们查询书籍知道色数的确定目前没有好的算法，怎样根据自己所学的知识求解是学生面临的又一次考验.有的学生注意到色数问题实际上是一个带约束的安排问题，想到了采用整数规划方法.当图的规模不是很大时，给出一个整数规划解法求解图色数问题是很有意义的.

通过查阅组合数学和图论[4]中染色理论的相关资料可以知道，对一个连通图G=（V，E），如果不是奇圈和完全图，则f（G）≤△.对除了奇圈和完全图之外的图G，可以选一个颜色集合{1，2，…，△}给G顶点着色，我们的目标是相邻点不同色，且使用颜色最少.

用颜色1，2，…，k（k≤△）给点v （i=1，2，…n）着色，引入0-1变量x ，y ，使得：

x =1，点v 着k色0，其他，y =1，使用颜色k0，其他

图G的邻接矩阵为A=（a ） ，

目标函数：MinZ= y ，

约束条件为：

（1）每个顶点只能着一种颜色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）两顶点有边相连则不能使用同色，则：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）当给顶点v 着k色，意味着一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是给出用最少的颜色的方案，因此应该避免出现k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

综上所述，色数问题可以转换成如下0-1规划：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以说学生从建立图色数模型到给出图色数的整数规划解法都是在进行一次自主研究性学习和探索.在探索过程中，更注重的是方法和思路，而不要太强调理论证明.在这个过程中，学生是认知的主体，教师主要起到适当引导和答疑的作用.这样开拓学生的思路，使他们有自我成就感，同时也感受到学习的乐趣.

三、编写程序，强化学生实践技能

实践环节对培养学生掌握知识技能、科研方法，提高创新能力具有重要的作用.在数学建模教学中，学生掌握基本数学模型、编程语言，如Matlab，LINGO等工具软件后，应该利用软件编写程序将模型内容进行数值求解.这是一个很重要的过程.通过软件编程进行实现不仅可以验证建立模型的正确性，而且可以得到一般性的解决方案.值得指出的是，在程序的编写过程中，往往不是一蹴而就的，学生都会在编写过程中调试修改，甚至是改变解决方案.在这一环节中，学生不断调整思路，突破知识瓶颈，最终解决问题，使得他们分析和解决问题的能力得到提高.

四、结语

在数学建模教学过程中，学生是主体.学生通过学习数学建模课程，获取新知识和新经验，同时也体会到应用数学知识解决实际问题的重要性.教师在数学建模教学中激发学生兴趣，引导学生研究性学习，辅导学生编程实践，通过一整套流程培养学生的创新精神，增强学生的动手意识，这对学生的洞察能力、发散思维能力、创新实践能力的提高大有裨益.

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜礼平，李卫军，戴明强.数模竞赛与创新教育[J].数学的实践与认识，2001（5）：633-634.

[3]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.图论及其应用[M].中国科学技术大学出版社，2010.

基金项目：长江大学教研项目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培养大学生创新实践能力是高等教育的重要内涵.本文以整数规划求解图色数问题为例， 探讨在数学建模教学中如何提高大学生的创新实践能力等问题.

关键词： 数学建模教学 创新能力 实践能力

创新是一个民族进步的灵魂，培养大学生的创新实践能力是高等学校教育的重要内涵.数学建模课程是高等教育中一门重要课程，它主要研究通过合理的假设，运用适当的数学工具建立数学模型解决实际问题的方法，内容涉及工程技术、经济管理、社会生活等各个领域，是培养学生创新实践能力的很好载体[1].数学建模教学的过程应该是一个培养学生创新能力和实践能力的过程.数学建模教学要求教学方法的创新、改革[2].在目前的环境下，改进数学建模的教学方法，提高学生的创新实践能力显得尤为重要.

一、创设情境，激发学生探索欲望

在数学建模教学中，教师要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题.让学生亲口尝一尝梨子的滋味，亲身体验数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验[3].在理论课教学中可以适度开放教学内容，创设情境，激发学生的创新意识和探索欲望，并给学生留有一定的思考和创新的空间.例如，某些问题可以通过案例进行教学，可将问题提给学生.

频道分配问题：某地区有n家电视发射台T ，T ，…，T ，主管部门给每家电视台分配一个发射频道.为排除同频干扰，使用相同频道的发射台之间相距必须大于一定的距离d，问：你认为该地区至少需要多少个频道？如何分配？

这个问题与现实生活联系十分紧密，有深厚的实际背景.对学生来说，这个问题有一定的难度，但是学生很感兴趣，都有跃跃欲试的冲动.问题提出来后，老师并不给出方法，将发挥的空间留给学生，让他们讨论和查找书籍资料完成.

二、进行研究性学习，培养学生创新能力

学生带着疑问和求知的渴望，对上面的问题进行分析和考虑后发现这样的规律，它属于限制某两个有特殊关系的对象（电视台）禁止有相同的属性（频道）的安排问题.这类问题适合转化为图论模型进行分析.

通过查询组合数学和图论[4]相关书籍，将n家电视发射台对应n个顶点，两个顶点邻接当且仅当它们代表的电视发射台相距大于距离d，这样得到一个图G.图G的色数x（G）就是所需频道的最少数目，所以这个问题归结到图的色数问题.学生在这个过程中是自己重新发现问题的模型，老师并不参与，这样有利于培养学生的发散性思维，提高学生的创新能力.

如何求解色数问题呢？同学们查询书籍知道色数的确定目前没有好的算法，怎样根据自己所学的知识求解是学生面临的又一次考验.有的学生注意到色数问题实际上是一个带约束的安排问题，想到了采用整数规划方法.当图的规模不是很大时，给出一个整数规划解法求解图色数问题是很有意义的.

通过查阅组合数学和图论[4]中染色理论的相关资料可以知道，对一个连通图G=（V，E），如果不是奇圈和完全图，则f（G）≤△.对除了奇圈和完全图之外的图G，可以选一个颜色集合{1，2，…，△}给G顶点着色，我们的目标是相邻点不同色，且使用颜色最少.

用颜色1，2，…，k（k≤△）给点v （i=1，2，…n）着色，引入0-1变量x ，y ，使得：

x =1，点v 着k色0，其他，y =1，使用颜色k0，其他

图G的邻接矩阵为A=（a ） ，

目标函数：MinZ= y ，

约束条件为：

（1）每个顶点只能着一种颜色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）两顶点有边相连则不能使用同色，则：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）当给顶点v 着k色，意味着一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是给出用最少的颜色的方案，因此应该避免出现k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

综上所述，色数问题可以转换成如下0-1规划：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以说学生从建立图色数模型到给出图色数的整数规划解法都是在进行一次自主研究性学习和探索.在探索过程中，更注重的是方法和思路，而不要太强调理论证明.在这个过程中，学生是认知的主体，教师主要起到适当引导和答疑的作用.这样开拓学生的思路，使他们有自我成就感，同时也感受到学习的乐趣.

三、编写程序，强化学生实践技能

实践环节对培养学生掌握知识技能、科研方法，提高创新能力具有重要的作用.在数学建模教学中，学生掌握基本数学模型、编程语言，如Matlab，LINGO等工具软件后，应该利用软件编写程序将模型内容进行数值求解.这是一个很重要的过程.通过软件编程进行实现不仅可以验证建立模型的正确性，而且可以得到一般性的解决方案.值得指出的是，在程序的编写过程中，往往不是一蹴而就的，学生都会在编写过程中调试修改，甚至是改变解决方案.在这一环节中，学生不断调整思路，突破知识瓶颈，最终解决问题，使得他们分析和解决问题的能力得到提高.

四、结语

在数学建模教学过程中，学生是主体.学生通过学习数学建模课程，获取新知识和新经验，同时也体会到应用数学知识解决实际问题的重要性.教师在数学建模教学中激发学生兴趣，引导学生研究性学习，辅导学生编程实践，通过一整套流程培养学生的创新精神，增强学生的动手意识，这对学生的洞察能力、发散思维能力、创新实践能力的提高大有裨益.

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜礼平，李卫军，戴明强.数模竞赛与创新教育[J].数学的实践与认识，2001（5）：633-634.

[3]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.图论及其应用[M].中国科学技术大学出版社，2010.

基金项目：长江大学教研项目（JY2012003，JY2012004）。endprint