例析在二次函数解题中常见的错误

王学丽

二次函数的问题在中考时是必涉及的内容，同学们在解答中常出现这样或那样的错误，造成失分，为帮助同学们复习好本部分内容，考出好成绩，今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意，导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意，误把函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表达式中m的值不确定，题意又没有明确指出该函数一定是二次函数，所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0，即m=4时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1变成y=12x+5，其图象是一条直线，它与x轴有一个交点；当m-4≠0时，函数是二次函数，其图象与x轴有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以Δ>0.故原解法不严谨，缺乏对二次项的系数进行讨论，只考虑了其中的一个方面，从而导致错误.

正解 当m-4=0时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即当m≥-87时，抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知，当m≥-87时，此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（2，-10）.

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其顶点坐标为[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（-2，-10）.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的是（ ）

分析 本题为综合题，有一定难度，综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断，分类讨论：

（1）若二次函数的图象为第一个图，则由开口向上知a>0，对称轴为y轴知b=0，与y轴相交于于负半轴，则a2+b=a2<0，而这是不可能的，故可排除第一个图；

（2）若二次函数的图象为第二个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴为y轴知b=0，则把两交点（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（设去）或a=-4，从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3，而a2=16>3，故排除第二个图；

（3）若二次函数的图象为第三个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴在y轴右侧知b>0.则交点（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（设去）或a=-1.故第三个图适合；

（4）若二次函数的图象为第四个图，由抛物线的开口向上知a>0，对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0，这与a>0，b>0相矛盾，故也排除第四个图.

正解 A.

4 不能正确的平移抛物线endprint

二次函数的问题在中考时是必涉及的内容，同学们在解答中常出现这样或那样的错误，造成失分，为帮助同学们复习好本部分内容，考出好成绩，今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意，导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意，误把函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表达式中m的值不确定，题意又没有明确指出该函数一定是二次函数，所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0，即m=4时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1变成y=12x+5，其图象是一条直线，它与x轴有一个交点；当m-4≠0时，函数是二次函数，其图象与x轴有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以Δ>0.故原解法不严谨，缺乏对二次项的系数进行讨论，只考虑了其中的一个方面，从而导致错误.

正解 当m-4=0时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即当m≥-87时，抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知，当m≥-87时，此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（2，-10）.

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其顶点坐标为[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（-2，-10）.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的是（ ）

分析 本题为综合题，有一定难度，综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断，分类讨论：

（1）若二次函数的图象为第一个图，则由开口向上知a>0，对称轴为y轴知b=0，与y轴相交于于负半轴，则a2+b=a2<0，而这是不可能的，故可排除第一个图；

（2）若二次函数的图象为第二个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴为y轴知b=0，则把两交点（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（设去）或a=-4，从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3，而a2=16>3，故排除第二个图；

（3）若二次函数的图象为第三个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴在y轴右侧知b>0.则交点（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（设去）或a=-1.故第三个图适合；

（4）若二次函数的图象为第四个图，由抛物线的开口向上知a>0，对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0，这与a>0，b>0相矛盾，故也排除第四个图.

正解 A.

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二次函数的问题在中考时是必涉及的内容，同学们在解答中常出现这样或那样的错误，造成失分，为帮助同学们复习好本部分内容，考出好成绩，今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意，导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意，误把函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表达式中m的值不确定，题意又没有明确指出该函数一定是二次函数，所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0，即m=4时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1变成y=12x+5，其图象是一条直线，它与x轴有一个交点；当m-4≠0时，函数是二次函数，其图象与x轴有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以Δ>0.故原解法不严谨，缺乏对二次项的系数进行讨论，只考虑了其中的一个方面，从而导致错误.

正解 当m-4=0时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即当m≥-87时，抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知，当m≥-87时，此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（2，-10）.

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其顶点坐标为[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以顶点坐标是（-2，-10）.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的是（ ）

分析 本题为综合题，有一定难度，综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断，分类讨论：

（1）若二次函数的图象为第一个图，则由开口向上知a>0，对称轴为y轴知b=0，与y轴相交于于负半轴，则a2+b=a2<0，而这是不可能的，故可排除第一个图；

（2）若二次函数的图象为第二个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴为y轴知b=0，则把两交点（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（设去）或a=-4，从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3，而a2=16>3，故排除第二个图；

（3）若二次函数的图象为第三个图，由抛物线的开口向下，知a<0，对称轴在y轴右侧知b>0.则交点（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（设去）或a=-1.故第三个图适合；

（4）若二次函数的图象为第四个图，由抛物线的开口向上知a>0，对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0，这与a>0，b>0相矛盾，故也排除第四个图.

正解 A.

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