正定矩阵的性质探讨

钱珑+袁江

摘 要 本文主要是借用正定矩阵的相关性质，从理论的角度对两个同阶正定矩阵进行了性质上的研究和比较，列出了一些基本的性质，给出了简单的证明，对不成立的性质则举出反例给予说明。这些性质定理和推论对研究实对称正定矩阵是有一定帮助的。

关键词 正定矩阵 性质 探讨

中图分类号：O241.6 文献标识码：A

Explore the Nature of Positive Definite Matrix

QIAN Long， YUAN Jiang

（College of Law & Business of Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract This article mainly borrows the related nature of positive definite matrix， from a theoretical point of two of the same order definite matrix were studied and compared on the nature， lists some basic properties， gives a simple proof of the nature is not established counter example to give instructions. These theorems and corollaries real symmetric positive definite matrix study is certainly helpful.

Key words positive definite matrix； nature； explore

1 正定矩阵的性质

性质1 是正定矩阵，则存在实非奇异方阵使 = 。

性质2 正定矩阵只能与正定矩阵合同。

性质3 任意两个同阶实对称正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，正定矩阵的正线性组合是正定矩阵。

由上述性质定理可知，如果方阵和都是正定的，则，+也是正定的，但一般来说却不一定是正定矩阵。例如：取矩阵，，均为正定矩阵，但不是对称矩阵，因此不是正定矩阵。以下性质说明了在什么情况下为正定矩阵。

性质4 设，均为阶正定矩阵，若乘积 = ，则为正定对称矩阵。

证明：，均为正定对称矩阵，由定理3.1知，存在非奇异矩阵与，使得： = ， = ，从而有 = ，且它与 = 相似，从而两者有相同的特征根。但 = ，由性质2知为正定矩阵，且其特征值都是正实数，而 = = = 。

因此为对称矩阵。故的特征根都是正实数，再由定理1知是正定对称矩阵。

通过这个性质的证明过程可以发现，一个矩阵的特征值都大于零并不能判定是正定的，还需要证明是实对称矩阵。这是因为二次型 的矩阵都是实对称矩阵，讨论二次型 的正定性或是的正定性时，其前提是实对称矩阵。

性质5 正定矩阵的主对角线上的元素都大于零。

推论1 实对角矩阵（，…，）是正定矩阵的充分而且必要条件>0（ =1，2，…，）。

性质6 若是正定对称矩阵，则存在惟一的正定矩阵使得 = 。

证明 由是正定对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使得 = = （，…，），其中，…，为的特征值。因是正定对称矩阵，故所有>0，令 = （，…，），则为正定对称矩阵且有 = 。

设也为正定对称矩阵且有 = ，那么把的特征值，…，适当编号可设 = ，即 = ，所以有正交矩阵使得 = （，…，）

由于 = ，故（，…，） = （，…，），即（，…，）= （，…，）。令 = = ，上式就是说 = ， 1≤， ≤，那么当≠时必有 = 0，所以得出 = ， 1≤， ≤，即（，…，） = （，…，）。于是（，…，） = （，…，），也就是 = 。

由上述证明过程可知对实对称正定矩阵分解后有 = 且为正定对称矩阵。

2 矩阵正定的充分必要条件

定理1 设是阶实对称矩阵，则下面各条等价：（I） 为正定矩阵；（Ⅱ）的一切顺序主子式都大于0；（Ⅲ）的一切主子式都大于0；（IV）合同于阶单位矩阵E；（V）半正定，且∣∣≠0；（Ⅵ） 对任意€资稻卣螅绻闹任加形ň卣蟆？

证明 （I）€H！（Ⅱ）的前行前列的子矩阵简记为（=1，2，…，），显然是实对称矩阵，令 = （，…，，0，…0）

其中，…，不全为零，则

所以构成的元二次型也是正定矩阵。因此∣∣>0，即的一切顺序主子式都大于0。

（Ⅱ）€H！（Ⅲ） （反证法）设=（）是正定矩阵，若存在阶主子矩阵

则由于是实对称矩阵，则存在k阶正交矩阵U使得 = （，…，），其中，…，为的特征值。由于∣∣<0，且∣∣= …。

则的特征值，…，中至少有一个小于0。不失一般性，设<0，令=（1，0，…0）。则≠0且 = <0。

再令 = （，…，），其中，则≠0，且 = = <0，这与为正定矩阵的假设相矛盾。

（IV）€H！（V）若合同于，则存在可逆矩阵，使得 = ，任取≠0，令 = ，则≠0。于是 = = = + … + >0，故为正定矩阵。则显然一定半正定，且∣∣≠0。

（V）€H！（Ⅸ） 设的特征值为，…，，由半正定可知（=1，2，…，），又∣∣= …≠0。

因此是正定矩阵。任取≠0，则≠0（因为若 = 0，则 = 0，而为阶可逆矩阵，所以 = 0，与假设矛盾）。由于为正定矩阵，因此 = >0。

由该证明过程可知上述定理各条均等价。

参考文献

[1] 胡永建，陈公宁.有关实正定矩阵的一些性质.北京师范大学学报，1996.27：91-102.

[2] 李炯生.实方阵的正定性.数学的实践与认识，1985.3：67-73.

[3] 殷庆祥.关于实方阵的正定性.数学的实践与认识，2004.31（2）：245-147.endprint