例析数形结合思想的恰当应用

刘威

摘 要：数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，把抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质。本文结合自己的实际教学经验，阐述了如何恰当应用数形结合思想解决问题，从而也进一步的提高了学生的转化与化归能力。

关键词：数形结合思想 转化 化归

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（c）-0101-01

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并非是孤立的，而是有着密切的联系。根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，就是数形结合思想。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面：（1）借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；（2）借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，使形更加精确；同时也充分体现了转化与化归的思想。

1 由“形”到“数”的转化

例1：如图1所示，已知P是直线3x+4xy+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为。

分析：在同一坐标系中画出直线与圆，作出圆的切线PA、PB，則四边形PACB的面积S四边形PACB=S△PAC+S△PBC=2S△PAC。把S四边形PACB转化为2倍的S△PAC。（见图4）

解：利用等价转化的思想：设点P坐标为（x，y），则|PC|=，由勾股定理及|AC|=1，得|PA|==，从而S四边形PACB=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=|PA|=，从而欲求S四边形PACB最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2=（x-1）2+（y-1）2的最小值，即定点C（1，1）与直线上动点（x，y）距离的平方的最小值，它也就是点C（1，1）到直线3x+4y+8=0的距离的平方，这个最小值d2=2=9，∴S四边形PACB最小值==2。

从以上例题不难看出，在题设情境为图像时，常需进行“形”向“数”的转化，即将形所含的信息转化为数和式的表达式和关系式，然后推理求解。

2 由“数”到“形”的转化

例2：已知实数x，y满足x2+y2=3（y≥0），m=，b=2x+y，求证：（1）≤m≤；（2）-2≤b≤。

分析：m可看作两点（x，y）与（-3，-1）连线的斜率，b可看作直线y=-2x+b在y轴上的截距。（见图5）

证明：（1）m可看作过半圆x2+y2=3（y≥0）上的点M（x，y）和定点A（-3，-1）的直线的斜率。

由图2可知k1≤m≤k2（k1，k2分别为直线AM1，AM2的斜率），k1==，圆心到切线k2x-y+3k2-1=0的距离为：d==，k2=（舍去负值），∴≤m≤。

（2）b可看作斜率为-2，过半圆x2+y2=3（y≥0）上一点P （x，y）的直线在y轴上的截距。

由图3可知n2≤b≤n1，P2C的方程为y=-2（x+），令x=0，y=n2=-2，∵圆心到切线P1B：2x+y+c=0的距离d==，∴c=±（舍负值），n1=，∴-2≤b≤。

在本题中，条件中的数量关系决定了几何图形的性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程。

参考文献

[1] 傅梦生.数形结合的应用策略研究[J].科技咨询导报，2007（11）：245.

[2] 张连延.谈数形结合思想在解题过程中的巧用[J].教育革新，2007（10）：55-56.