一题多解带给我们的启示

刘璇

【摘 要】在实际的教学中，教师经常贪多，喜欢给学生留更多的习题。而事实上，很多东西其实是相通的，一道题如果反复思考透了，想出多个解题方法，会打开思路，带给我们更多启示。

【关键词】菱形；解题方法；转化

在一次考试中，有这样一道题：

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF.

（1）如图1，若E是线段AC的中点，求证：BE=EF；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。

第（1）问，思路很顺畅，有一定基础知识的学生都能想到解题的关键：菱形的对角线性质以及特殊的60°角。而且一般情况下，证明两个线段相等，采用的通法是：等角对等边。通过两个底角相等来得到两边相等。

对于第（2）问，通过观察，能够猜想得到BE=EF仍然成立，但是如何证明？困扰了许多学生。其实，受第（1）问的启发，想延续此思路，证明∠EBF=∠EFB，但显然不太好证，因为第（1）问通过∠EBF=30°得到两角相等，而这里的∠EBF不再是特殊角度。所以需要另辟蹊径：

方法一：将角进行“转化”。（这是经常使用的方法）关键如何转化？转化哪个角？结合已知平行，想到可以将∠EBF转化成与之相等的角，从而延长BE到M，（如下图2）则∠EBF=∠BMA。下面需要做的是：证明∠BMA=∠F。有图形意识的同学会想到，要证明ΔBMA∽ΔEFC。显然有两角∠BAM=∠ECF=120°，再找什么条件？只能是对应边成比例，也就是AM-AB = CF-EC。记住，还有一个关键的条件：AE=CF。再者，进一步发现AM-AB = AM-BC= AE-EC，从而建立了联系。得证。

显然，上面的方法一不太好想，很多同学在有限的时间内，可能发现不了相似三角形，从而放弃此方法，再来探寻新方法。

方法二：此方法是比较容易想到的，同样用到“转化”思想：直接转化线段。很容易看出BE=DE（ΔABE≌ΔADE），所以，做了如下的辅助线：连接DE，如下图左。那接下来，就要证明DE=EF，自然的，连接DF，如下图右。从而，需要证明ΔDEF为等边三角形。结合已知AE=CF，再观察图形，显然ΔAED≌ΔCFD，则DE=DF，再加上60°角，等边三角形得证，从而结论得证。

再来探一探，已知条件是否能让我们想到其它方法？显然还有，介绍如下：

方法三：菱形提供了平行的边，所以不妨过点E作平行线试试，如下图左，过点E作EN∥BC，交AB于点N，作了此辅助线，还要发现ΔAEN是等边三角形，则CF=AE=NE，再观察图形，需有ΔBNE≌ΔECF，显然，通过AB=AC，AN=AE，得BN=CE，再加上120°，则全等得证。BE=EF得证。由此方法，再联想到，过点E作EP∥BC，交BC于点P，如下图右，则通过证明ΔBEP≌ΔFEC（或ΔBEC≌ΔFEP），可得BE=EF。

可以过E作平行线，还能过别的点吗？点F也是可以的，从而有了

方法四：过点F作FQ∥AB，交AC的延长线于点Q，易得ΔCQF为等边三角形，与方法三类似，再证ΔABE≌ΔQEF，则结论得证。

方法五：再来看一个特別又一般的方法，说特别是因为不容易想到，说一般是因为题目中的条件还能得到这种方法的必然性：要证明BE=EF，那就直接证，因为是60°的菱形，所以，可以通过设边的长度，表示出BE、EF的长度，通过长度相等，得到两边相等。下面的工作就是表示BE、EF的长度。而对于这样的三角形，要表示长度，自然而然的辅助线：过E作EG⊥BF，交BF于点G，设AB为a，GC为x，则BG=a-x，又因为∠ECG=60°，所以EC=2x，则AE=a-2x=CF，从而FG=a-2x+x=a-x，做到这里，发现，不再需要表示BE、EF了，因为BG=FG，再加上作的垂直，从而全等得BE=EF。

尤其最后一个方法五，又给我们提供了证明线段相等的新方法。把这道题吃透，想必学生的收获会非常大。

从这一道题目来看，如果在课堂上专攻此题，把课堂时间还给学生，让学生从多种角度考虑，会让学生有更大的乐趣，更能激发学生的创新性和积极性。 一题多解，确实不错。