在中学数学教学中利用类比促进迁移

金智杰

迁移是一种学习对另一种学习的影响，类比是促进正迁移的一种重要手段。数学教学中，运用类比促进迁移的途径主要有模型的类比、同类之间的类比和数学方法的类比。模型的类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象，类比的实质就是信息从模型向原型的转移。同类之间的类比是已知同类之间有一类具有某种性质，要求学生类比另一类具有什么性质的问题。而与已知数学方法类比能很好的提高学生的数学思维能力，另外利用类比迁移还可以产生新的创造。

一、对数学类比迁移的理解

为什么会产生迁移，心理学界众说纷纭，各执一词。桑代克首先提出了共同要素说，他认为一种学习之所以有助于另一种学习，“只有当两种机能的因素中有共同要素时，一种机能的改变才能改变另一种机能”。贾德在批评共同要素说的基础上提出了概括化理论。该理论认为，迁移的发生不在于任务之间表面的类似性，而在于学习者是否对有关知识的概括化理解，强调的是原则的类推和应用。在这两种经典迁移理论的基础上，心理学家引入了认知心理学研究的新成果，形成了影响较大的三种迁移理论：即图式理论，该理论主要利用学习者的知识结构阐述迁移发生的机制；共同要素理论，这是共同要素说发展的现代版本，从迁移任务和训练任务之间的关系分析迁移的机制；元认知理论，这是学习定势理论的进一步发展，主要利用学习者的元认知能力解释迁移发生的机制。在这三种迁移理论中，类比迁移已成为心理学家研究的核心，所谓类比迁移就是用熟悉问题的解决方法去解决新问题的一种解题策略，它可以发生在具有相同或非常接近的概念领域。

数学学科是统一的整体，其组织的活力依赖于其各个部分之间的联系。也正是数学知识之间的各种各样的联系，使数学知识系统形成了一种稳定的结构。在数学学习过程中，我们常常遇到两个不同的知识系统或不同的问题，它们存在一致的原理、类似的结构、相同的构成部分或相同的本质联系等共性要素，这些共性要素往往就成为问题解决的突破口或新知识的增长点，是数学学习中产生迁移的基因，也是影响类比迁移的一个主要客观因素。除上述客观因素外，学生头脑中的知识结构，即认知结构是影响类比迁移的主观因素。迁移可理解为认知结构（即学生头脑里的知识结构）对新的学习的影响，数学教学的目标归根到底是为了达到有效地实现正迁移。通过某种途径将新的学习或问题纳入原有的认知结构，使知识在新的问题情境中产生正迁移。我们把沟通认知结构与新的学习途径看成是“认知桥梁”，为扩大知识的正迁移量，设计好认知桥梁是关键。在数学教学中，类比不失为一种好的认知桥梁，即通过类比把新的学习或问题纳入原有的认知结构，产生知识的迁移。

二、数学类比迁移实施过程的具体实例

类比型数学问题特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。这类问题是以类比思维为轴心，与数学方法、数学思想和数学基础知识相结合，着重检测学生的探究能力、创造能力、推理能力，对学生的能力和素质的要求比较高。这类题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，推广的命题，深入的命题。下面以具体实例说明类比过程的具体实施。

（一）模型的类比

所谓模型类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由右边框图表示：类比的方法是以两个对象之间的类似为基础的。

例l. 把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。如，关于勾股定理，可有几个类比：

勾股定理：在直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形中，有a2+b2=c2。

类比1：长、宽、高分别为p，q，r，对角线长为d的长方体中，有p2+q2+r2=d2。

类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p，q，r，长方体对角线长为d，则有p2+q2+r2=2d2。

类比3：四面体交于一个顶点0的三条棱两两互相垂直，与O相邻的三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有：A2+B2+C2=D2。

我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以用面积法证明这两个命题都是正确的。

在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD。”

提醒：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：

（二）同类之间类比

同类之间类比就是已知同类之间有一类具有某种性质，要求考生类比另一类具有什么性质的问题。比如椭圆与双曲线类比，等差数列与等比数列类比等等。

例2.有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线。过有心曲线的中心的弦叫做有心曲线的直径，（为研究方便，不妨設直径所在直线的斜率存在）。

定理：过圆x2+y2=r2，（r>0）上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值-1。

（Ⅰ） 写出该定理在椭圆x2-a2+y2-b2=1（a>b>0）中的推广，并加以证明；

（Ⅱ）写出该定理在双曲线x2-a2-y2-b2=1中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论。

解析：设直径的两个端点分别为A、B，由椭圆的对称性可得，A、B关于中心O（0，0）对称，所以A、B点的坐标分别为A（x1，y1），B（-x1，-y1）。P（x，y）为上椭圆x2-a2+y2-b2=1上任意一点，显然，kPA，kPB，从而有kPA·kPB。又因为A、B、P三点都在椭圆上，所以有，b2x2+a2y2=a2b2①，，b2x12+a2y12=a2b2

②。由①-②得：b2（x2-x12）+a2（y2-y12）=0，故有kPA·kPB=。

所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆（a>b>0）异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值。

（Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值。

该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线Ax2+By2=1上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值。

（三）数学方法类比

思维能力的培养是数学教学最重要的任务之一，与已知数学解题方法类比型问题能很好的提高学生的数学思维能力和知识、方法的迁移能力，近年高考中屡见不鲜。

例3、（1）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…f（0）+…f（5）+f（6）=

（2）已知函数，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1—4）+f（1—3）+f（1—2）=

两小题都是求和（求函数值的和）问题，把它们与数列求和进行类比。观察各函数值中自变量的特点，联想等差数列求和的方法是a1+an=a2+an-1=a3+an-2，于是对于第（1）题，我们可以采用求f（-5）+f（6）、f（-4）+f（5）、…、f（0）+f（1），而-5+6=-4+5=-3+4=…=0+1。对于一般情形有

故原式的值为。

对于第（2）题，也用类比思想方法求f（2）+f（1—2）、f（3）+f（1—3）、f（4）+f（1—4）。我们很快发现f（λ）+f（1—λ）=1，于是原式的值为7-2。

（四）利用类比迁移产生新的创造

利用迁移還能产生创造，下面是个由迁移而发现新定理的案例一一连续归纳法的发现。

实数，是从自然数系演变扩充而得到的。自然数是全序集，实数也是全序集。那么，对自然数系而言的有力工具，能不能“迁移”过来，用于实数系呢？具体地说，能不能把大家熟悉的数学归纳法搬到实数系里去“一试身手”呢？

数学归纳法的正确性，由自然数的一个性质而来一一“非空的自然数集里必有最小数”。从这一点着眼，又建立了超限归纳法，它可以用于任一个“良序集”。因为，“良序集”正是这样的全序集，“它的任一非空子集，有最小元素”。

实数集，按自然大小顺序，它的子集不一定有最小数。这给归纳推理造成了困难。也许正是因为这个原因，这个很容易想到的工具始终没有被人们使用过。

确实，我们的思想常受古圣、先哲的限制，因而很少去追求珍贵遗产中的不足之处。其实，变通一下归纳法的形式，就能绕过实数集是按自然大小非良序集的困难。

让我们比较一下两种归纳法。

（1）关于自然数的数学归纳法。设Pn只是一个涉及自然数n的命题，如果：①有某个n0，使对一切n

（2）关于实数的数学归纳法。

设Pn是一个涉及实数x的命题，如果：①某个x0，使对一切x0，使Pn对一切x

上述（1）是大家熟知的数学归纳法，（2）是我们提出来的连续归纳法。

两种归纳法，何其相似。这种新的归纳法一提出来，跟着就产生了必须回答的问题：第一，它是否正确？第二，它是否有用？是否好用？第三，它与现在常用的关于实数的命题是什么关系？

数学学习中的类比迁移过程应是一种创造性过程，在这一过程中，不但要注重知识与知识、问题与问题之间的类似性，更要以此为出发点，努力创造过程性知识，并加以恰当地表征，不仅可以达到数学学习的正迁移效果，而且使学习者原有的认知结构得到有效的整合和优化，从而为进一步的类比迁移提供必要的基础，形成良性循环。总之，迁移理论在数学中有广泛的应用，它不仅能促进知识、技能和方法的迁移，而且能揭示知识间的联系，优化数学认知结构，对学生基础知识和基本技能的掌握及创造思维能力的培养都具有重要意义。

参考文献：

[1] 索里J M.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，1982。

[2] 张景中.教育数学探索[M].成都：四川教育出版社，1992。