Γ-函数的几个性质及其应用

王 飞，周培桂，马晓艳

（1.浙江机电职业技术学院，杭州310053；2.浙江理工大学，a.科技与艺术学院；b.理学院，杭州310018）

Γ-函数的几个性质及其应用

王 飞1，周培桂2a，马晓艳2b

（1.浙江机电职业技术学院，杭州310053；2.浙江理工大学，a.科技与艺术学院；b.理学院，杭州310018）

运用单调性l’Hospital法则获得了Γ-函数的一些单调性质，根据这些性质主要获得运用几何凸性准则解决了Γ-函数的一个猜测，利用等价转化方法改进了拟共形映射中常数Bn的精确估计。

精确估计；Γ-函数；单调性；拟共形映射；几何凸性

0 引 言

对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义为：

众所周知，在经典的特殊函数、拟共形映射理论中，经常出现如下定义的“常数”［3-4］：

上述定义“常数”bn、Bn、Jn的许多不等式对特殊函数界的估计有很重要作用［4］，同时在数学的很多领域有着广泛应用，如格拉斯曼流形的几何子空间［5］、优化理论［6］、几何函数论［7-9］。

在过去的半个世纪里，Γ-函数和B-函数出现在数学的概率论、几何、分析等许多领域中，是表达某些重要量的便利工具，在数学、物理和工程技术中有着广泛且重要的应用［2-3，10-13］。因此，研究Γ-函数、ψ-函数、B-函数的性质既具有理论意义，又具有应用价值。

近年来，多位学者研究了关于上述函数的许多性质以及不等式［3-4，8-14］。在文献［10］的TheoremA及Theorem1.17（4）中，作者得到并改进了一系列不等式。如对n≥2，

当且仅当n=2时等号成立。

在文献［15］中，作者提出了如下猜测：对x＞0，令

则F（x）为几何下凸函数。

本文的目的是通过研究Γ-函数的一些单调性质，应用几何凸性准则给出（3）有关Γ-函数猜测的完整结论。此外，利用等价转化方法改进拟共形映射中常数Bn的精确估计。

在本文中，我们获得了如下主要结果。

定理1对a∈（0，1），C1=1/Γ（a），函数

在（0，∞）到（0，∞）上严格递减。

定理2对a∈（0，1），C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2及C3=e-γ-ψ（a），函数

在（0，∞）到（0，-C2C3）上严格递减。特别地，对a∈（0，1）及x∈（0，∞），双向不等式

成立。

则存在唯一的x0∈（0.103，0.104），使得函数F（x）在（0，x0）上是几何上凸的，而在（x0，∞）上是几何下凸的。其中x0是方程xψ′（x）+ψ（x）-logx-2=0的唯一正根。

1 引 理

在本文中，为了证明结论和引用方便，我们需要下面的公式及几个引理，具体内容如下所述。

下面熟知的ψ函数公式［3］：

其中x∈R+，γ为Euler常数。

如下的引理1.1参见文献［4］Theorem 1.25，引理1.2（1）参见文献［16］，引理1.2（2）参见文献［3］，引理1.2（3）参见文献［13］lemma 2.2。

引理1.1对-∞＜a＜b＜+∞，设f和g是两个实值函数，并都在［a，b］上连续，在（a，b）上可微且在（a，b）上g′（x）≠0，如果f′/g′在（a，b）上单调上升（下降），那么函数也在（a，b）上单调上升（下降）。而且，若f′/g′的单调性是严格的，则F和G的单调性也是严格的。

（2）当x→∞时，且x为正实数，那么

其中B2n为Bernoulli数。

（3）对x∈（0，∞），

证明对g1（x）对数求导得

g′1（x）/g1（x）=g2（x）=ψ（x）-ψ（x+a）。由（6）知ψ（x）是严格递增的，则g2（x）＜0。因此，g1（x）的单调性可证。

证明对数求导得

g′3（x）/g3（x）=g4（x）=ψ（x+1）-ψ（x+a）。由式（1）、（6）知g4（x）＞0，可得g3（x）的单调性。由式（1）及引理1.3可得g3（x）的极限值。

引理1.5对a∈（0，1），C1=1/Γ（a）及C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2，函数

从（0，∞）到（C2，0）上严格递增。

证明令h2（x）=x［ψ（x+1）-ψ（x+a）］-由（6）知，ψ″（x）在（0，∞）上严格递增，故h′4（x）＞0。因此，根据引理1.1知，h1在（0，∞）上严格递增。

由l’Hospital法则和（5）可得

和

证明 对数求导得

h′5（x）=h5（x）h1（x）=-｛h5（x）［-h1（x）］｝其中h1（x）由引理1.5定义。由引理1.5可知，h′5（x）＜0，故得h5（x）的单调性。由引理1.5得知，h′5在（0，∞）上严格递增，h5（x）的凹凸性可证。

由l’Hospital法则及式（5）、（7）可知

和

2 主要结果的证明

在本节中，将证明本文中的主要结果，同时也将证明拟共形映射中的一个“常数”Bn的结论，进而得到其满足的精确不等式。

定理1的证明令g5（x）=Γ（x+1）/Γ（x+a）-C1，g6（x）=x2。则g5（0）=g6（0）=0，G（x）=g5（x）/g6（x），且

其中g1（x）和g4（x）分别由引理1.3和引理1.4的证明中定义。从引理1.3、引理1.4、（8）可知：g1（x）和g4（x）在（0，∞）上是严格递减的正函数。由引理1.1可得G（x）的单调性。

定理2的证明令h6（x）=C4-［Γ（x+1）/（C1Γ（x+a））］1/x和h7（x）=x，则h6（0）=h7（0）= 0，H（x）=h6（x）/h7（x），且

由引理1.5、1.6知，h8（x）在（0，∞）上严格递减。根据引理1.1，易得H（x）的单调性。

运用l’Hospital法则及引理1.5、1.6，函数H（x）极限分别为

和

显然，双向不等式（4）成立。

定理3的证明对数求导得

根据引理1.2（3）可知，f′1（x）＜0，故f1（x）在（0，∞）上严格递减。

根据引理1.2（2）和等（5）、（6）、（7），函数f1（x）的极限值分别为

和

根据f1（x）的单调性知：存在唯一的x0∈（0，∞），使得函数f1（x）在（0，x0）上为正，而在（x0，∞）上为负。此处，x0为f1（x）=0即xψ′（x）+ψ（x）-log x-2=0的唯一正根。由于f1（0.103）=0.006 19…，f1（0.104）=-0.006 37…，故x0∈（0.103，0.104）。

推论2.1函数H1（n）=2（4-）（n-1）关于n在（1，∞）上严格递增。特别地，对n≥2，有

等号成立当且仅当n=2。其中α1=π2/12和β1=1 -π2/16为最佳常数。

证明 令x=1/［2（n-1）］，则当a=1/2时，函数

其中H（x）见定理2。由定理2得H1（n）的单调性。

其次，取a=1/2，由（7）知C3=4，C2=［ψ′（1）-ψ′（1/2）］/2=-ζ（2）=-π2/6，这里ζ（x）是Riemannζ函数。故

显然，双向不等式（9）成立。

注：（1）因Bn与bn、Jn均相关，由上面的结论也可以得到bn和Jn相应的结果。

（2）不等式（9）改进了文中不等式（2）的上下界。

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Some Properties of Gamma Function and Its AppIications

WANG Fei1，ZHOU Pei-gui2a，MA Xiao-yan2b
（1.Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China；2.Zhejiang Sci-Tech University，a.College of Science and Art；b.School of Science，Hangzhou 310018，China）

In this paper，some monotonicity properties of Gamma function are obtained by monotony L’Hospital Rule.A conjecture of Gamma function is solved by applying the rule of geometric convexity according to these properties.Precise estimate of the constant Bnin quasiconformal mapping is improved by using the method of equivalent transformation.

precise estimate；Γ-function；monotonicity；quasiconformal mapping；geometric convexity

O174

A

（责任编辑：康 锋）

1673-3851（2014）05-0576-04

2014-03-05

国家自然科学基金资助项目（11171307）；浙江省教育厅科研项目基金（Y201328799）；浙江机电职业技术学院科研项目（A027114018）

王 飞（1985-），男，陕西渭南人，硕士，助教，主要从事Ramanujan模方程及特殊函数研究。