基于波场分解重建多个散射体的数值方法与模拟

夏 赟，王泽文，赵学慧

（1.东华理工大学理学院，南昌330013；2.凉城四中，内蒙古自治区乌兰察布市013750）

基于波场分解重建多个散射体的数值方法与模拟

夏 赟1，王泽文1，赵学慧2

（1.东华理工大学理学院，南昌330013；2.凉城四中，内蒙古自治区乌兰察布市013750）

研究了重建多个散射体的逆散射问题。利用波场分解的思想，首先给出了一种基于单层位势实现散射波和远场模式分解的算法，将多个不可穿透的散射体产生的远场模式，分解成与散射体个数对应的多个远场数据；然后，利用组合牛顿法给出了数值方法，把分解后得到的远场数据逐个重建多个散射体边界；最后，通过数值模拟验证了该算法的可行性。

逆散射；波场分解；组合牛顿法；多个散射体；不适定问题

0 引 言

声波逆散射问题［1-3］是数学物理反问题研究领域中的重要研究内容之一，有着广泛的工程应用前景。本文主要研究当入射波遇到不可穿透的声柔障碍物时的逆散射问题，即考虑时谐声波eikx·d在非吸收的均匀介质中传播时，遇到多个不可穿透的柔性无限长柱体的散射问题，其中长柱体的横截面为Di⊂R2，（i=1，2，…，N），边界∂Di（i=1，2，…，N）是C2连续可微的。这一问题的数学模型可表示为：给定平面入射波ui（x）=eikx·d，求散射波场us（x）满足Helmholtz方程Dirichlet外问题，Dirichlet外问题可用下式表示：

其中us（x）是散射波场，d是入射波入射方向，k是波数，式（3）称为Sommerfeld辐射条件。由文献［3］知，该散射的正问题存在唯一解，且散射波us（x）有如下渐进关系：

其中u∞称为散射波场us（x）的远场模式，它定义在=∈S上，表征了散射波场us（x）在无穷远处的状态。由Rellich引理［2-3］可知，散射波us（x）与其远场模式u∞（ˆx）一一对应。的形状，也即重建多个散射体的边界∂Di（i=1，2，…，N）。

在逆散射问题研究中，对单个逆散射的重建和数值模拟的研究比较多，例如有牛顿法［2-3］、Kirsch-Kress迭代法［4］、线性采样法［5］、探测方法［6］、组合

引理1［2-3］设us（x）∈C2（R2¯D）为Helmholtz方程Dirichlet外问题（1）-（3）的解，如果us（x）的远场模式u∞（）=0，则us（x）=0，x∈R2¯D。

这里，声波障碍物散射正问题指的是：已知入射波和散射体边界且满足Helmholtz方程定解问题（1）-（3），求散射波场us（x）及其所对应的远场模式u∞）。而本文所考虑的逆散射问题是：已知入射平面波ui（x）=eibx·d及其对应的远场模式u∞（），反求多个散射体牛顿法［7-11］等，但是，对于多个散射体的重建方法以及数值模拟的研究不多，Hassen等［12］给出了波场分解的思想方法，利用点源法实现多个散射体的重建，但没有探讨其他数值方法；王泽文等［13］研究了多个散射体重建的组合牛顿法，结合非数值方法中遗传算法，给出了组合牛顿法的初始猜测；Hassen等［14］则讨论了多个散射体情形下的正问题，但是没有给出反问题的数值解。

本文主要利用波场分解的思想方法，结合组合牛顿法研究多个重建多个散射体的数值方法。本文首先给出一种基于单层位势的波场分解方法与数值模拟结果，然后基于对Kirsch-Kress方法的分析给出了重建单个散射体边界的组合牛顿法，最后基于波场分解和组合牛顿法给出了逐个重建多个散射体边界的数值方法与数值模拟结果。

1 波场分解

Hassen等［12］将散射场和远场模式分解成为不同障碍物散射作用的和，然后利用点源法来计算分解后的散射场，进而由分解后的散射场重建多个散射体。受此启发，本文利用波场分解的思想方法将远场模式分解成若干个散射场，然后给出了逐个重建多个散射体的组合拟牛顿法。为简单起见，仅讨论二个散射体的情形。设散射体D包含两个互不连通的部分D1和D2，即D=D1∪D2且满足= Ø，其中Dj（j=1，2）的边界上是C2光滑的。

定理2［12］设有边界是C2光滑的区域G1和G2，且G1I G2=Ø，G1⊃和G2⊃，并记G：=G1∪G2。已知散射体D的散射波场us的一个分解us=+满足：

上述定理的详细证明参见文献［12］。接下来讨论波场分解的算法实现。将Helmholtz方程外问题（1）-（3）的解表示成单层位势的形式，即：

则其对应的远场模式为：

接下来所给出的散射波场分解的近似方法是：由已知的远场模式u∞来求满足定理2条件的散射波场和的近似方法。为此，任选区域B1和B2，且B1I B2=Ø，G1⊃和G2⊃，B1和B2边界均是C2光滑的。记B=B1∪B2，令

当B包含散射体D时，方程（8）是可解的；但若散射体D不在区域B内，则方程（8）的可解性依赖于（1）-（3）的散射波场是否可以解析延拓进区域D内［3］。另一方面，方程（8）是个不适定的第一类积分方程，即若远场模式u∞有误差则将导致解的急剧变化。为此，需要采用Tikhonov正则化方法来求解方程（8），即解正则化方程：

对于密度函数φαj（y）引进单层位势算子Sj，即定义

因此，上述方法实际上也实现了远场模式的近似分解，即u∞≈+。从而，可利用通过组合Newton法分别实现散射体Dj的边界重建。

本文给出的波场分解算法与文献［12］给出的略有不同，即分解算法是在∂Bj上进行的，这样得到的散射波场（11）在∂Gj的外部满足Helmholtz方程，且和∂

∂uν

sj在边界∂Gj上都确实存在，而不用考虑它们是极限意义下的存在。

算例1 （波场分解）考虑两个散射体，它们的边界分别为：

和

取波数k=1，d=（1，0）T，正则化参数取0.5×10-8和精确的远场模式u∞进行数值模拟。选取∂G1与∂G2分别是位于（0，3.5）和（0，-2）半径为1.7的圆，见图1-图2的中心部分的圆。选取∂B1与∂B2分别是位于（0，3.5）和（0，-2）半径为1.5的圆的分解结果，分别记为和，此时散射体D位于B的内部；选取∂B1与∂B2分别是位于（0，3.5）和（0，-2）半径为0.7的圆的分解结果，分别记为和，此时B不包含D也不在D内。图1-图2分别显示了前后两次分解所得散射场之差的实部和虚部。图3给出了和分别对应的远场模式和。图4给出了+与u∞的对比结果。

图1-的结果

图2-的结果

图3 分解后的远场模式

图4+与u∞的对比

3 重建单个散射体的组合牛顿法

得到密度φ，即

然后，散射波场us用单层位势表示如下：

其中密度函数φ∈L2（Γ）通过方程（13）计算得到。Kirsch-Kress方法即寻求散射体D的边界使其在范数意义下ui+us取零的位置，即极小化泛函

从而获得∂D的近似值。由于积分核e-ikˆx.y是个解析函数，所以方程（13）是严重不适定的。这时需要采用一些正则化的方法去解方程（13），这里选取Tikhonov方法进行求解，即求解方程（13）的Tikhonov正则化方程

其中α为正则化参数，I为单位算子，FΓ为远场算子，即

上述Kirsch-Kress方法（13）-（17）式，以及单层位势的连续性，自然地定义一个算子为：

因此，求解方程（19）的Newton迭代法为：

其中G′3（u∞，δ，Γ，γ）h是对应于第三项的γ的Fréchet导数，且易知：

如果不选取内部辅助曲线Γ，在方程（16）直接用近似曲线γ取代Γ，也能得到一个密度函数，故可得到如Kirsch-Kress方法中的散射波场us，即

上式与（14）的不同之处在于积分曲线和密度函数是不相同的。此时，那么方程（19）就变为

采用以下近似Newton法

来求解方程（23），其中G′3（u∞，δ，γ，γ）h=x∈γ。已知远场模式的测量数据u∞，δ，给定γ的初始猜测γ0，经近似Newton法（24）迭代重建散射体边界∂D的方法即是组合Newton法。

4 多个散射体的重建方法与数值模拟

在重建多个散射体时，始终假设散射体Dj是以（）为中心的星形状散射体，即其边界∂Dj的参数表示形式

其中rj（t）∈C1（［0，2π］）是取值大于零的实函数。本文提出的多个散射体的重建方法如下。

给定多个散射体的远场模式u∞，δ，首先由第2小节给出的波场分解算法将u∞，δ分解成到和，然后由第3节给出的组合Newton法分别利用和重建散射体边界∂D1和∂D2。

组合牛顿法中，我们用三角函数的参数形式表示γ，即

为了避免反问题陷阱，通过用组合位势积分方程方法解正散射问题获得远场模式的模拟数据，而由前两节给出的单层位势途径求反问题。正反问题算法的详细参数化离散过程，请参阅文献［3-4，10，13，15］。为了说明反演方法的稳定性，本文给远场模式按下述方式加入随机噪声：

其中i代表的是虚数单位，“real”和”imag”分别代表的是远场模式的实部和虚部。在数值模拟中，始终取波数k=1和入射波方向d=（1，0）T，m= 15，N=64，且当δ=0时选取正则化参数为0.5× 10-6而当δ≠0时选取正则化参数为0.5×10-3进行数值模拟。在组合牛顿迭代中，迭代停机准则取

算例2 考虑重建算例1中的两个散射体的边界，重建结果见图5。

图5 算例2的重建结果

算例3 考虑重建两个散射体，其中它们边界的参数方程分别为：和重建结果见图6。

图6 算例3的重建结果

5 结 论

本文利用单层位势的方法，对多个散射体产生的散射波场和远场模式给出了波场分解算法，即将散射波和远场分解成与散射体个数相对应的多个散射波及其远场模式，且给出了数值模拟。然后，分别利用分解后的多个远场数据，给出了利用组合牛顿法逐个重建多个散射体边界的方法。通过数值模拟发现，不论是对波场分解的数值模拟，还是重建多个散射体边界的数值模拟，均表明本文给出的波场分解方案和重建方法是可行的。但是，在重建散射体边界时，本文所给的重建方法仍然对迭代初值比较敏感，这也是需要我们进一步研究的问题。

［1］Colton D，Kress R.Using fundamental solutions in inverse scattering［J］.Inverse Problems，2006，22（3）：49-66.

［2］Colton D，Kress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory［M］.2nd ed.Berlin：Springer-Verlag，1998.

［3］Colton D，Kress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory［M］.New York：Spring-Verlag，1992.

［4］Kirsch A，Kress R.Two methods for solving the inverse acoustic scattering problem［J］.Inverse Problems. 1988，4（3）：749-770.

［5］Cakoni F，Colton D，Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory：an Introduction［M］.New York：Spring-Verlag，2005.

［6］Cheng J，Liu J，Nakamura G.The numerical realization of the probe method for theinverse scattering problems from the near field data［J］.Inverse Problem，2005，21（3）：839-855.

［7］Kress R.Newton′s method for inverse obstacle scattering meets the method of least squares［J］.Inverse Problems，2003，19（6）：91-104.

［8］Serranho P.A hybrid method for inverse scattering for shape and impedance［J］.Inverse Problems，2006，22（2）：663-680.

［9］Kress R，Serranho P.A hybrid method for sound-hard obstacle reconstruction［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，204（2）：418-427.

［10］Wang Z，Hu B.An alternative approach of Kirsch-Kress method for reconstructing the shape of a soundsoft obstacle from several incident fields［J］.Journal of Physics：Conference Series.IOP Publishing，2011，290（1）：12016-12025.

［11］Johansson T，Sleeman B D.Reconstruction of an acoustically sound-soft obstacle from one incident field and the far-field pattern［J］.IMA Journal of Applied Mathematics，2007，72（1）：96-112.

［12］Hassen F B，Liu J，Potthast P.On source analysis by wave splitting with applications in inverse scattering of multiple obstacles［J］.Journal of Computational Mathematics，2007，25（3）：266-281.

［13］王泽文，张文.基于遗传算法重建多个散射体的组合Newton法［J］.计算数学，2011，33（1）：87-102.

［14］毛 耀.关于复杂散射体声波正散射与逆散射问题的研究［D］.武汉：华中师范大学，2012.

［15］麦宏晏.带阻尼边界条件的声波散射问题的几种数值方法［D］.西安：西北大学，2004.

NumericaI Method and SimuIation for Reconstruction of MuItipIe Scatterers Based on Wave FieId Decomposition

XIA Yun1，WANG Ze-wen1，ZHAO Xue-hui2
（1.School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China；2.Liangcheng Fourth High School，Wulanchabu 013750，China）

This paper studies an inverse scattering problem for reconstruction of multiple scatterers. Applying the idea of wave field decomposition，this paper firstly provides an algorithm for realizing scattered wave and far field model decomposition based on single layer potential to decompose far field mode generated by multiple impenetrable scatterer to multiple far-field data corresponding to the number of scatterers.Then，a numerical method is proposed by combined Newton method.Far-field data gained after decomposition are used to reconstruct the boundary of multiple scatterers.Finally，the feasibility of the algorithm is verified through numerical simulation.

inverse scattering；wave field decomposition；combined Newton method；multiple scatterers；ill-posed problem

O242.1

A

（责任编辑：康 锋）

1673-3851（2014）05-0580-06

2013-12-22

国家自然科学基金（11161002）；江西省青年科学基金资助项目（20132BAB211014）；江西省教育厅科技资助项目（GJJ13460）；东华理工大学校长基金（DHXK1207）

夏 赟（1982-），女，江西南昌人，讲师，硕士研究生，主要从事数学物理反问题的研究。