三角数字在规律题中的应用

郭小蔚

摘 要：当今的初中数学考试，经常会出现数列的找规律题，本文主要结合教学实践从利用三角数字及其倍数在规律题中的应用进行了探索.

关健词：三角数字倍数；规律

一、认识三角数字

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如图1所示的1， 3， 6， 10， 15， 21， 28， 36， 45， 55， 66， 78…由于这些数能够表示成三角形，于是将其称为三角形数，这列数字是由1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…组成的.它们是毕达哥拉斯青年兄弟会发誓保守的秘密之一：1，3，6，10 ， ….毕达哥拉斯和门徒们发现了三角数的一个性质：任意两个连续三角数的和是一个平方数.无独有偶，宋朝数学家杨辉的：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束.问共几束？答：36束.”也是用这方法找出Sn的值.打过保龄球吗？ 保龄球球瓶排列方式就是一个三角数喔！这组数据在初中数学中还是挺经常出现的.

（一）三角数字在实际问题中的应用

应用1：用三角数字可以解决初中数学中的握手问题：2个人握手共握1次，3个人握手共握3次，4个人握手共握6次，n个人共握 次手.

1，3，6，10 ， …，.

应用2：一次羽毛球赛中，有8个队伍，如果进行循环赛需比赛几场？如果进行淘汰赛需比赛几场？

解：进行循环赛需比赛：8×7÷2=28场，

进行淘汰赛需比赛：8-1=7场.

（二）三角数字在几何中应用

应用3：如图2，两个点之间有一条线段，不在同一直线上的3个点之间有3条线段，用n表示点数，用s表示线段的条数，根据下列各图的排列规律，猜一猜，s与n之间的关系是

n=2， n=3， n=4， n=5， n=6，…

s=1， s=3， s=6， s=10， s=15，…

S=.

应用4：（《顶尖课课练》七年级上册P115）找规律：

（1）若直线l上有1个点，则该图形中有 线段.

（2）若直线l上有2个点，则该图形中有 线段.

（3）若直线l上有3个点，则该图形中有 线段.

（4）若直线l上有4个点，则该图形中有 线段.

（5）若直线l上有n个点，则该图形中有 线段.

解：（1）若直线l上有1个点，则该图形中有 0 线段.

（2）若直线l上有2个点，则该图形中有 1 线段.

（3）若直线l上有3个点，则该图形中有 3 线段.

（4）若直线l上有4个点，则该图形中有 6 线段.

（5）若直线l上有n个点，则该图形中有 线段.

应用5：（《顶尖课课练》七年级上册P115第10题）

如图3，在同一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有 条交点，8条直线两两相交，最多有 个交点.

答：4条直线两两相交，最多有 6 条交点，8条直线两两相交，最多有 28 个交点.

应用6：（《顶尖课课练》七年级上册P120第9题）

（1）在∠AOB的内部，以点O为端点引1条射线，所得的图形共有 个角；

（2）在∠AOB的内部，以点O为端点引2条射线，所得的图形共有 个角；

（3）在∠AOB的内部，以点O为端点引3条射线，所得的图形共有 个角；

（4）在∠AOB的内部，以点O为端点引4条射线，所得的图形共有 个角；

（5）在∠AOB的内部，以点O为端点引n条射线，所得的图形共有 个角.

解析：（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）.

二、利用三角数字的倍数关系解题

（一）三角数字的2倍

把三角数字1，3，6，10 ， …中每个数字扩大一倍就得到：

1×2，2×3，3×4，5×6，… n（n+1）.

即：2，6， 12， 30， … n（n+1）.

应用1：观察下面一列数：，-，，-，…请找出其中的规律，并按此规律填空：第9个数是 ，第14个数是 ，若n是大于0的整数，按上面排列的规律，则第n个数为 .

解析：把这组数据中的-变成-就可以得到这组数列：

，-，，-…

就可以用三角数字的两倍解题了，第9个数是，第14个数是-.若n是大于0的整数，按上面排列的规律，则第n个数为（-1）n+1

应用2：（互赠礼物问题）2个人互赠礼物共需2件礼物，3个人互赠礼物共需6件礼物，n个人互赠礼物共需 n（n+1） 件礼物.

（二）三角数字的3倍

三角数字1，3，6，10 ， …中每个数字都乘以3就得到：

3，9，18， 30， 45，…

应用3：（八上《一课三练单元达标测试》P59第7（3））

如图4是用火柴棍摆出的一列三角形图案，按这种方式摆下去火柴棍数y与所摆图案的层数x之间的关系可通过表1来探究.

表1

由此可得到y与x的函数关系式是：y=.

应用4：（《顶尖课课练》七年级上册P107）平面内不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可以确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（ ）.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

（三）三角数字的4倍

4，12，24，40，60 …是按什么规律排的？

应用5：如图5是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形.当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s=

解析：

规律1：1×4，2×6，3×8，4×10，5×12…

所以：第n项是n×（n+1）×2=2n（n+1）.

规律2：1×4，3×4，6×4，10×4，15×4…

所以：第n项是 =2n（n+1）.

数学记忆与数学理解在数学学习中的重要性随着新课程改革悄然发生着变化，记住三角数字规律及其倍数，对于类似习题就可一目了然，提高解题速度，节约大量的解题时间，快捷求解！

参考文献：

[1]郑炜，陈晓红.顶尖课课练（七年级）上册[M].福州：福建人民出版社，2012.

[2]严军.一课三练单元达标测试（八年级）上册[M].北京：中国少年儿童出版社，2012.