熟知与真知

张洪梅

黑格尔曾指出“熟知”与“真知”之间的区别，他有一句名言：熟知不等于真知。注意到这一点对于数学教育来说尤为重要，因为数学学习的进步与发展不仅需要知道或认可，还需要理解。人们只有通过学习具体的材料，有所领悟和理解，进而才能达到把握和灵活的运用。学习进程中许多障碍皆缘由于此。

一、熟知不等于真知

可以举出很多实力来说明熟知的东西未必真懂。例如虽然很多學生都会解方程：

3x-1=2x-7

3x-1-2x+1=2x-7-2x+1

x=-6

当问到解题的根据时，多数人回答是移项变号。其实这是解题法则，是操作程序而不是根据。追问后，回答依据等量公理。下面简述继续回答的过程：方程是含有未知数的等式；关于等式有两种定义，其一是实质定义，其二是形式定义。我们采取后者：等号联结的式子是等式。进而可以区分为真等式、假等式和可真假等式；方程是一个可真假的等式，为什么可以使用等量公理？换一个角度来看，解方程是寻求一个等式成为真等式的充分条件，或证明其无解的过程。为什么在解方程时却是在求等式成立的必要条件，岂不是南辕北辙？类似的问题，曾经问过很多教师探讨过，有的老师也说不清楚。

类似错解可无限列举下去。

事实上，解方程时曾暗中假定方程有解，其根暂时用x代替，此时，方程将可看作是真等式，从而可根据等量公理导出解题法则。当然得到方程的根后，在理论上代入原方程进行检验以落实最初的假定。这种解题思想在高等数学中讨论线性方程组的行列式解法曾进行过充分说明。

再有，解一次方程时的各个步骤，可根据同样的依据逆推回去，因此等式成立的必要条件亦即其充分条件，运算时尽可放心。可是，把解方程时所做的事情原封不动地推移到解不等式的情形中来，则很容易出现差错。

在中学中，常用的不等是性质约有12条，它们都可以在证明不等式的推理中可以使用。其中只有4条性质给出了充要条件，只有这些才可用于解不等式。这说明理解才是运用、活用知识的基础。

二、原因分析

首先从数学研究对象的特点说起，它有助于说明“形式”与“内容”之间的关系。著名数学家、哲学家怀特海指出“数学就是对模式的研究”。

模式简化了思维过程，降低了思维强度，提高了思维效率。当然这意味着尽量减少人的智力投入，就如同人们制造出机器可以降低劳动强度提高工作效益的道理一样。但是人们还需要考虑扩充机器的使用范围，并且还需要创造出新类型、更多功能的机器，如果不深刻了解原有机器的原理和结构就无法实现。在数学教育中，不仅要重新发现和研究新的模式，同时还要注重人的发展，从而对已有内容的理解就更为重要，这是前进的基础。

由于数学的特点，一些方法、法则、操作步骤往往可能脱离其理论依据、摆脱其成因的思想，这就为“会做题”与“理解数学”之间形成差额提供了可能。再加上，数学中训练性的问题多，练习题题型过窄，多数属于一种常规技术的运用或简单的组合变化，使得只要避免无意识的错误就可以成功。这类问题对于巩固、记忆和熟化已有知识能起一定作用，仅靠这类问题对于学生的良好思维品质的形成和思维水平的提高未必有利。应增加适量思考性强的问题。因此，明确把程式化、操作性强和简单推理的数学活动纳入技能范畴，避免这类大运动量、重复性强的技能训练与能力培养混为一谈。这就把思考性问题与技能训练问题匹配不当的缺陷突现出来。

三、注意保持领悟

可以说，数学教育中熟知的东西与真正理解数学之间出现了剪刀差，这一现象带有相当的普遍性。

关键问题是怎样做才有利于保持领悟，重要是教学中解体活动内容的择定，即适量增补或编制有利于学生发展的问题，练习题和考题，重视思考性、启发性和进行 创造性思维训练，问题还要结合日常生活及学生们较熟悉的情境。

“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。变熟知为真知，还要学会“跳出来 ”。人们往往有注重第一印象和容易凭经验来解题的心理弱点，所以在学习中很容易被表面现象和假象所迷惑。而具备科学头脑的人就不一样了，他们总能在人们 司空见惯的课题中悟出真知，如牛顿从苹果落地的现象中悟出了万有引力定律。这其中一个很重要的原因，就是他们跳出了常人思维的框框，用全新的思路去发 现和研究问题。恩格斯在《反杜林论》中有一段精辟的论述：“常识在日常应用 的范围内虽然是极可尊敬的东西，但它一跨入广阔的研究领域，就会碰到极为惊 人的变故。”因此，学习中我们要善于跳出习惯性的思维圈子，经常用好奇的眼 光来审视眼前发生的一切，审视那些自以为耳熟能详的老问题，这样，就一定能 从中悟出的真谛，使学习常做常新。