基于尊重学生探究的课堂引入

丰关堂?沈瑜

在数学新课教学过程中，前后内容联系往往是承上启下具有逻辑关系的。因此，在新知授课时设计几个彼此关联的、具有启发性的系列问题来激发学生的“探究欲”，逐步达成教学目标。在激发了学生的探究欲后，我们还应该尊重学生的探究成果，站在学生的角度分析问题、解决问题。这种基于尊重学生探究的课堂引入往往比直接传授效果好得多。

下面，以“两角差的余弦公式”（必修4第三章3.1）的第一节课作为课堂教学引入案例，阐述笔者的教育理念和操作办法。

课堂引入的过程实录

教师：cos（α-β）=cosα-cosβ 吗？cos（600-300）=cos600-cos300 吗？为什么？

学生：不成立。

左边cos（600-300）=cos300= ，右边cos600-cos300=，显然左边≠右边。

教师：如何用α、β的正弦、余弦来表示cos（α-β）呢？

教师：先对简单的进行讨论，以 x轴非负半轴为始边分别作角α、β交单位圆于A、B两点。

不妨设00<β<α<900 。则∠AOB=α-β ，则cos（α-β）=OC。

用两种方法表示同一个量从而建立等量关系式，是我们数学中经常用到的技巧。现在的问题转化为线段OC有其他的表示吗？可不可以进行适当的分割呢？

过D点作AO的垂线，垂足为E，在Rt△EOD中，OE=OD·COSα=COSβ·COSα 。

学生：如果角α在第二象限，β 在第一象限呢？

教师：自己动笔试一试。

学生：动笔推导。

教师：上面的推导过程很麻烦，你还有其他好的推导方法不？（学生思考讨论）

学生：α-β与OA、OB的夹角有关。

教师：夹角的余弦值可以怎么处理？

学生：两个向量的数量积。

教师：两个向量是哪两个呢？

学生： 、 。

教師：接下来我们从平面向量的数量积的角度给出cos（α-β）的一个推导。

一方面：根据数量积的定义：·=||·||·COS﹤，﹥=COSθ，（与的夹角为θ）。那么θ与α-β有什么关系呢？

学生：θ=α-β+2Kπ 。

教师：我们有了·=cos（α-β），一样的思想，两种方法表示同一个量，· 还能怎么表示？

学生：坐标表示。=（cosα，sinα） ，=（cosβ，sinβ） ，·=cosα·cosβ+sinα·sinβ 。

从而有：cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

以往同样内容的课堂引入用时很短，直接进行公式推导，目的就是让课堂留有较多时间进行公式应用举例与练习，以提高公式应用能力。显然，本节课的引入与以往的明显不同了，一改老师一味给予，学生就公式进行应用练习的沉闷课堂，二改单向的教学活动为双向的教学互动，师生情感交融，课堂氛围活跃了。从问题意识渗透到解决问题能力的培养，新课改的数学教育理念得到了充分体现，收到了比较好的教学效果。

当然，本节课还存在着诸多不足。

第一，因为临时改变备课计划，所以备课不够充分。当时备课只考虑将角特殊化到锐角的情况其余不加以推广，但课上有学生主动提出一个是第二象限角另一个是第一象限角的情况，所以才有了上述推导。第一种推导方法是联系三角函数线，数形结合的思想，平面几何的套路，推导过程较为繁琐。因时间方面的限制，第二种向量的推导方法讲的过快。事实上，该方法较简单，且与高中知识衔接更为紧密。而在课后交流中也可以发现：学生自己对比操作后，更能记住向量的推导方法。

第二，细节方面的处理不够到位。一方面，角特殊化过程中忽略了直角的教学，也就导致推广后未提及轴线角。另一方面，在角α在第二象限，β在第一象限的推导过程中忽略了两角终边互相垂直的情况。

第三，大部分学生在给出一个结论后是有能力模仿推导的，但在公式推导严谨性上的追问是比较少同学可以注意到的。

第四，由特殊到一般的思想方法很有层次性，难度较大。就本节课而言，在α、β位置关系讨论时，学生不假思索的将角特殊化到两锐角，好一点的学生可以注意到钝角，只有个别同学会推广到象限角，更别说是任意角。

第五，学生在两角差余弦公式的推导过程中，纯粹是将三角函数直接转化为平面几何中线段的分割问题，三角函数的符号问题是容易被忽略的。

每位学生都是一个个独立的个体，在探索问题时必然有多种方式，不可能每位学生都沿着老师预设的正确的道路走。在备课时，我们还应该想学生所想，设想各种可能出现的情况，做好多个预案。这样才能从容的面对学生，站稳讲台。

用好教材不是照本宣科，照搬它的方法或问题解法，而是在理解教材的基础上深挖数学教育思想，突出学生主体地位，尊重学生的思维选择。在教学活动中，我们应该耐心地帮助学生完成他们的探究，在他们的路上试着走一走也许会有新的发现、新的突破，产生心灵共鸣，进入高一层面的数学思维。因此，在基于尊重学生探究的课堂引入方面多作研究，多加实践，我们的数学课堂会更加精彩、更加有效。