高等代数课程教学体现“师范性”的思考——从几个初等数学问题的高观点分析谈起*

陈建华

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

高等代数课程教学体现“师范性”的思考
——从几个初等数学问题的高观点分析谈起*

陈建华

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

我国数学教育中，大学数学和中学数学教育的“双脱节”现象依然存在.在大学数学课堂教学中，开展初等数学问题的高观点分析，让学生在学习实践中掌握初、高等数学知识的联系，体会它们在方法和思想上的贯通，培养“高观点下的初等数学”意识是解决该问题的一条行之有效的途径。

师范性;高观点;初等数学;高等代数

1 研究缘起

1904年，德国著名数学家克莱因（F.C.Klein）指出大学和中学数学教育的“双脱节”现象:大学生感到他们正在学的东西和中学学过的无关，而当他们到中学任教时，大学所学的用不上，大学所学的内容就只存在于美好的记忆中［1］.1989年，在克莱因的名著《高观点下的初等数学》被翻译成中文出版时，吴大任先生指出:我国的数学教育依然存在“双脱节”现象.

21世纪，随着数学课程标准的实施，“双脱节”现象产生的问题更加突出:多数中学数学老师对高等数学的相关内容遗忘甚多，对现代数学的内容陌生;运用高等数学观点方法解决中学数学问题的意识缺乏，“高观点”统率全局的能力有待提高.如何提高教师的数学素养及教育素养，以适应数学课程改革的需求，成了中学数学教师专业成长过程中面临的一个重要问题.下面通过几个案例，说明改进数学专业师范生专业课课堂教学，努力体现“师范性”，发挥职前教育的主阵地的堡垒作用，是一条行之有效的途径.

2 几个案例

关于大学所学的数学在中学教学中是否用得上的问题，单墫教授指出:所谓“完全用不上”，并非真正用不上，而只是没有能很好地将大学知识与中学问题有机地联系起来［2］.我们来看一道初中数学竞赛题.

2.1 一道初中数学竞赛题

【竞赛题】甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元，问若购甲、乙、丙各1件，需要多少元?

【解析】设甲、乙、丙三种货物的价格分别为每件x，y，z元，则有方程组

以上分析，不难得到.但不同知识层次人，对本题的理解应该有不同的深度，且应该在解题方法，解题速度等方面得到体现.

方法1:观察方程组系数，（1）乘以3减去（2）乘以2，获得解答

这种解法的获得具有很大的偶然性（因为x，y，z的系数全为1，容易凑出来），对初中学生来说还需要一定的观察能力，才能获得问题解决.

方法2:

得通解

这里解法是对线性方程组的增广矩阵作初等行变换求解，是一种程序性的工作，几乎不用任何“智力”，当然，解答过程中需要对方程组有无穷多组解有较好的把握，即能够从通解中找到求解问题的特解上来.优秀的师范生不仅应该能够求出问题的解，还应该有变化问题不同问法（通解范围内的购买可能组合）的能力.

作为数学教师，对该题应该有更深刻的理解.实际上，两个方程的系数对应着两个向量

待求量x+y+z对应另一个向量β =（1，1，1），由于β =3α1－ 2α2，所以，

在解题中，教师应该能从数学思想（这里是表示的思想）上把握问题的实质.比如是否能够思考问题:购甲2件、乙3件、丙5件，共需多少元?该题能解答吗?说明理由.

事实上，一个称职的数学教师应该掌握数学的各种概念、方法及其发展过程，了解数学教育演化的经过.如何让师范专业学生深刻体会所学知识的应用，真正理解初、高等数学知识间的这种联系，上述案例的分析过程提示我们，大学数学课堂教学（如高等代数课程等）中，应该设法通过一些初等数学问题的背景介绍，让学生在学习实践中体会.这里再从“高等”视角看一道重点高中入学（提前单招）考试题.

已知:

试求16a1+25a2+36a3+49a4+64a5+81a6+100a7的值.

【分析】如果以“初等”的方法思考该题，需要“技巧”加“运气”.但从向量的线性关系的角度思考该问题，思路就很明确，事实上，我们可以考虑

β =（16，25，36，49，64，81，100）如何由向量组

线性表示入手.这是高等代数课程的基本思想.进一步，一定需要考虑七维向量 α1，α2，α3，β 吗?实际上，由于向量组

线性无关，只要解线性方程组x˜α1+y˜α2+z˜α3=˜β即可，其中˜β=（16，25，36），结论是˜β=˜α1－3˜α2+3˜α3.这里的道理就是向量组的性质:“短无关，则长无关”.在此基础上，再回归初等方法:采用待定系数法，思考n2，（n+1）2，（n+2）2与（n+3）2之间的关系.

2.2 一个初等数学公式

初等数学中的一些常用公式，也是我们帮助学生联系初、高等数学知识的良好材料.比如:对数换底.

【背景】在n维线性空间V中，n个线性无关的向量ε1，ε2，…，εn称为V的一组基.ε'1，ε'2，…，ε'n是V的另一组基，它们的关系描述为:

其中

矩阵A称为由基ε1，ε2，…，εn到ε'1，ε'2，…，ε'n的过渡矩阵，它是一个可逆矩阵.

设 ξ是V中任一向量，因此ξ可以被基ε1，ε2，…，εn唯一线性表出:

或

其中系数x1，x2，…，xn称为ξ在基ε1，ε2，…，εn下的坐标.如果 ξ在 ε'1，ε'2，…，ε'n下的坐标为

则有 X=AX'或 X'=A－1X.

【公式解读】我们在一个具体地线性空间中分析对数换底公式.设R为实数域，V=R+为全体正实数组成的集合，定义R+中的两个元素的加法运算“⊕”为:

定义R中元素与R+中元素的数乘运算“○”为

则（R+，⊕，○，R）作成一个向量空间，零向量为1，R+中任意不等于1的数都可以做基向量.这是高等代数课程中线性空间的一个典型例子.

取 a，b，c∈R+，a≠1，b≠1，作为R+的基向量，a到b的过渡矩阵为 k，则（b）=（a）（k），即 b=k○a=ak，或 k=logab.现在我们考察正实数c在两组基a，b下的坐标:

那么坐标的关系:

即为对数换底公式.

观察上述分析，围绕一个“底”字:比较对数的“底”与空间的“基”;弄清楚一个“换”字:改变对数的底与线性变换空间的基，转化的思想方法渗透其中.

如果想在高等代数课程教学中体现“师范性”，备课和讲课中就有许多有关渗透的工作要做.对于课本中已经有的内容，只有通过钻研教材，才能发现其深刻含义，从而在讲课时用浅显简明的语言揭示其精神实质.教学实践告诉我们，讲解高观点时，只能用精心选择的三言两语讲清思想，点到为止，不能求全求细.否则，如果超越学生水平，会让学生越听越糊涂.

高等代数中这种表示的思想，在初等数学解题中，还有一种仅限于形式的运用.对于教师理清问题是否有益.且看下面的例子.

【96年高考题】设 a，b，c为实数，

当 －1≤x≤1时，有|f（x）|＜1，证明:当 －1≤x≤1时，|g（x）|≤ 2.

【分析】虽然问题不难，但由于已知条件中量多，关系表达繁琐，给顺利表达带来困难.利用代数表示的思想，从“高观点”视角，可以在 －1≤x≤1中选取三个点－1，0，1，由题设得

将 f（－ 1），f（0），f（1）作为“基”，用它来表示 a，b，c，则有

则上述式子可表达为

右乘矩阵A的逆，得

所以，当 －1≤x≤1时，有

其中

由于当 －1≤x≤1时，有 |f（x）|＜1，故

事实上，大学生从高等数学的诸多课程中学到了许多知识和方法，接受了很重要的思想，但在回到中学教学时往往被忽视了.所以，在我们的教学中就应该着眼于弥补这些缺陷，揭示初、高等数学之间的联系，指出它们的共性，给学生以示范.

2.3 一段大学课堂教学片段

在高等代数课程教学中，笔者在文献［5］基础上，改编文章中例题，在我校2011级，上了一节教学研究课，下面是教学片断:

【教学片段】

师:我们学习了多项式的相关理论，请思考下列问题，给出你的解答.

（呈现问题）:设α，β∈R，

求α+β.

（五分钟后）

生1:令m= α －1，n= β －1，有

则

又因为

所以

师:请谈谈你的思路.

生1:我是以立方和的因式分解为切入点，观察到已知等式右边出现的是相反数，取两式求和.

师:好，思路很清楚，这里用到多项式的因式分解.能利用多项式函数的观点给出不同的解法吗?

生2:令f（x）=x3+2011x，则f（x）是奇函数，因为

从而有

又因为f（x）导数f'（x）=3x2+2011＞0，即f（x）是单调增函数，故有

师:很好，令f（x）=x3+2011x（板书），我们使用的工具“新”了，借助于函数的单调性，省去了因式分解和

等解题环节.如果考虑多项式f（x）=x3+2011x+1呢?（板书）

生3:老师，如果设f（x）=x3+2011x+1，则有

所以α－1，1－β∈R为实数根，而f（x）单调，故实根唯一，因此有

师:请你回顾你的思考过程，告诉大家你用了多项式理论中的哪些结论?

生3:代数基本定理和因式分解定理.

代数基本定理:每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域上至少有一个根.

实系数多项式因式分解定理:实系数多项式的复根成对出现.

师:好，很好.我们的解法三，观点更高，过程也越简单.从中是否发现一些初等数学问题的解决，无时无刻不蕴含着高观点的数学思想与解题研究方法.

（令我惊讶的是，笔者根据文献［5］给出的教学预设，在几分钟里学生快速生成，而且竟然几乎完全一致.在感叹同学的智慧和集体力量的同时，笔者“急中生智”提出下列问题）

师:德国著名数学家克莱因曾说过，“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学［4］”，请大家从刚才的三种解法中，谈谈你对克莱因这句话的体会.

……

师:能根据已有的高等代的数知识，再举一个类似例子吗?

……

作为知识拥有者和传授者的教师本身，问题的掌握不可能仅局限于中学那种肤浅的理解层次，而应该在可研究的问题上从高观点、数学史的发展角度去剖析教材与数学问题，高处着眼，低处入手，深入浅出的对其进行探究和挖掘内涵，沟通基本概念间的相互联系，揭示问题的本质含义.［5］

3 启示与建议

100年前，克莱因针对数学教师的职后培训，曾倡导开展“高观点下的初等数学”研究.他告诫人们:数学教育的改革不能采取保守的、旧式的态度，数学教育工作者的头脑中应始终保持着近代的、新的数学的进步、新教育的进展，来改造初等数学.随着社会对教师的要求逐渐从量过渡到质，教师的专业成长越来越被重视，培养高质量的师范生成了高师院校面临的重要课题.

数学专业知识是优秀数学教师的核心基础，解题技能更是中学数学教师的专业成长的标志.张奠宙先生在品评张景中院士的“第三代微积分”时说:多角度地考察，多元化地思考微积分，应该成为新时代教师的数学修养［6］.对于数学专业师范生的数学素养要求，借用国学大师王国维对诗词的观点，“入乎其内，故能写之.出乎其外，故能观之.”中学数学解题多半使用某些策略，讲究逻辑严谨，以步步推进的方式寻求解答，这是入乎其内.对初等数学的理论体系、文化渊源、历史足迹和关系结构的理解，又需要从高观点审视，这是出乎其外.师范教育是未来教师的职前教育，我们的教学更应该注重数学专业师范生的数学素养.大学数学课堂是实施高观点下的初等数学”研究的理想“场所”.

［1］菲利克斯.克莱因著，舒湘芹等译.高观点下的初等数学［M］.上海:复旦大学出版社，2008.

［2］单墫.解题研究［M］.上海:上海教育出版社，2007.

［3］郭聿琦，王正攀，刘国新.谈谈“高观点下的初等数学”—以基础代数学为例［J］.大学数学，2011（1）:3－7.

［4］克菜因·M.北京大学数学系数学史翻译组译.古今数学思想［M］.上海:上海科学技术出版社，1980.

［5］张红，孙立坤，李昌勇.高观点下初等数学与数学教师MPCK的优化案例剖析［J］.数学通报，2009（7）:22－25.

［6］张奠宙.努力掌握微积分思想的精髓—初等数学里的微积分读后感［J］.数学教学，2010（02）:8.

Thinking on Normal of Advanced Algebra Course Teaching——Starting from the High Point Analysis of Several Elementary Mathematics Problems

CHEN Jian－hua
（School of Mathematics Science，Yangzhou University;Jiangsu 225002）

In the mathematics education in our country，there still exists‘double hiatus’phenomenon in the University and middle school mathematics education.Carrying out the elementary mathematics problems with high point analysis in mathematics classroom teaching in university is an effective way to solve the problem.In this way，students could grasp the relation of elementary and advanced mathematics knowledge，realize the connection within them in methods and thoughts and develop the consciousness of‘elementary mathematics in high point’.

normal;high point;elementary mathematics;advanced algebra

G642.0

A

1004－1869（2014）02－0078－04

10.13388/j.cnki.ysajs.2014.02.022

2014－04－12

本文获得扬州大学线性代数精品课程和教改课题“基于教学理解的线性代数课程教学实践”资助，课题编号:YZUJX2012－46B

陈建华（1963－），男，江苏如皋人，副教授，硕士生导师，主要从事代数学，数学教育研究。