一道课本证明题的几个变式

王维珍

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式.下面举例说明.（注：和差化积、积化和差公式请参阅教材）

人教A版选修22第96页例1：在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

变式1在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由A，B，C成等差数列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差数列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，从而A=C，而B=〖SX（〗π3，则A=B=C=〖SX（〗π3，

从而△ABC为等边三角形.

变式2在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

则4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

将（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式3在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

变式4在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

将（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

将（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式5在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

则cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

将（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导同学们主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，都具有很好的推动作用.

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式.下面举例说明.（注：和差化积、积化和差公式请参阅教材）

人教A版选修22第96页例1：在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

变式1在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由A，B，C成等差数列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差数列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，从而A=C，而B=〖SX（〗π3，则A=B=C=〖SX（〗π3，

从而△ABC为等边三角形.

变式2在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

则4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

将（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式3在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

变式4在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

将（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

将（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式5在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

则cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

将（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导同学们主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，都具有很好的推动作用.

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式.下面举例说明.（注：和差化积、积化和差公式请参阅教材）

人教A版选修22第96页例1：在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

变式1在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由A，B，C成等差数列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差数列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，从而A=C，而B=〖SX（〗π3，则A=B=C=〖SX（〗π3，

从而△ABC为等边三角形.

变式2在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

则4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

将（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式3在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

将（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

变式4在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等差数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

将（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

将（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，从而△ABC为等边三角形.

变式5在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

证明：由于cosA，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

则cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

将（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

将（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导同学们主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，都具有很好的推动作用.