巧解三角函数最值问题

刘裕华

摘 要：主要介绍了如何利用三角函数的有界性、根的别式以及一元二次函数的方法求解三角函数的最值.

关键词：最值；有界性；判别式；均值定理

在三角函数中常常碰到求最值的问题，它不仅与三角函数变换直接相关，还涉及二次函数、不等式等，它是这章的基本内容，也是高考常考的知识点.解决这类问题的基本途径，一方面要充分利用三角函数本身的特殊性，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为一些我们所熟知的函数最值问题.下面就本人的教学体会，浅析三角函数最值的几种巧解方法.

一、巧用三角函数有界性

在三角函数中，正弦函数和余弦函数都具有一个重要的性质——有界性.利用三角函数的有界性是求解三角函数最值问题的基本途径.

例1.当-■≤x≤■时，函数f（x）=sinx+■cosx的（ ）

A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-■

C.最大值是2，最小值是-2 D.最大值是2，最小值是-1

分析：因为函数式中既有正弦函数又有余弦函数，故应先化为正弦型函数或余弦型函数求解.

解：∵f（x）=sinx+■cosx=2sin（x+■），

而-■≤x≤■，

∴-■≤x+■≤■.

∴当x+■=■时，f（x）有最大值为2；

当x+■=-■时，f（x）有最小值为-1.

故应选D.

例2.求函数y=■的值域.

分析：因为函数式中含有sinx，而sinx≤1，所以可把它转化为sinx=f（y），再利用有界性求解.

解：∵y=■，

∴sinx=■.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤■≤1，

∴-■≤y≤1.

∴原函数的值域为[-■，■].

二、巧化二次函数

在求解三角函数最值时，往往会含有平方或二倍角.对于此类题，可利用基本关系式或倍角公式转化为二次函数求解.

例3.求函数y=cos2x-4sinx+3的最值.

分析：利用cos2x=1-sin2x就可把原函數式化为一个关于sinx的一元二次函数，然后配方即可求解.

解：y=cos2x-4sinx+3

=-sin2x-4sinx+4

=-（sinx+2）2+8.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤y≤7.

所以ymin=-1，ymax=7.

注意：因为sinx≤1，即sinx+2不可能为零，所以y不能取到最大值8.

例4.求函数的值域.

分析：利用倍角公式cos2x=2cos2x-1也可把原函数化为二次函数.

解：y=cos2x-cosx

=2cos2x-cosx-1

=2（cosx-■）2-■.

∵-1≤cosx≤1，

∴■≤x≤2.

例5.求函数y=（sinx-1）（cosx-1）的最值.

解：y=（sinx-1）（cosx-1）

=sinx·cosx-（sinx+cosx）+1.

设t=sinx+cosx=■sin（x+■），

则-■≤t≤■.

∵（sinx+cosx）2=t2，

∴sinx·cosx=■，

∴y=■-t+1=■（t-1）2.

当t=-■时，ymax=■+■；

当t=1时，ymin=0.

三、巧引判别式

例6.求■的最值.

解：令y=■.

去分母整理得：（y-1）tan2α+（y+1）tanα+（y-1）=0.

当y≠1时，上式为一个关于tanα的一元二次方程，且有两个实数根.

所以？驻≥0，

即（y+1）2-4（y-1）2≥0，

3y2-10y+3≤0，

■≤y≤3（y≠1）.

当y=1时，由原函数表达式解得tanα=0，符合题意.

所以，ymin=■，ymax=3.

四、巧变不等式

运用均值定理是求最值的一种常用方法，但由于其约束条件“苛刻”（一正二定三相等），往往不能直接运用，要巧变后方可.

例7.已知0

误解：∵00，■>0.

∴f（x）=■+sinx≥2■=4.

∴f（x）min=4.

在以上解答中忽视了“相等”的条件，这必然导致错误.事实上，不可能有sinx=■.

正确解法是：

∵0

∴0

∵f（x）=■+sinx=（sinx+■）+■，

∴f（x）≥2■+■=2+■.

∵当sinx=■，即sinx=1时，

（sinx+■）min=2，且（■）min=3，

∴f（x）min=2+3=5.

例8.设0<θ<π，求函数y=sin■（1+cosθ）的最大值.

解：∵0<θ<π，

∴sin■>0，cos■>0.

∵y=sin■（1+cosθ）=2sin■cos2■，

∴y2=4sin2■cos4■

=2（2sin2■cos2■cos2■）

≤2（■）3=2×（■）3

∴y≤■■.

当且仅当2sin2■=cos2■，即sin■=■时等号成立，所以函数y=sin■（1+cosθ）的最大值为■■.

点评：上题中巧妙地通过函数式两边同时平方后拆成三项，再利用sin2■+cos2■=1这个定值来应用均值定理求解.

以上介绍了求解三角函数最值问题的几种方法，但数学题型千变万化，解题时绝不能一成不变、生搬硬套，应根据具体情况，具体分析，同时亦要留意题目中一些隐含条件.

参考文献：

[1]徐昱辉.高职高考数学专题复习[Z].广东经济出版社，2007.

[2]季飞.求解三角函数最值有“型”可循[J].高中数学教与学，2007，8：32-33.

（作者单位 广东省东莞市纺织服装学校）

？誗编辑 韩 晓