建模：一种现实的“数学化”途径

姚诚

【摘 要】让学生通过数学活动，形成数学模型思想，学会“数学化”，是数学新课标的一个内涵性要求。对此，把生活原型作为建模的起点，把积累数学活动经验作为建模的基点，把数形结合作为建模的支点，把数学化思维作为建模的重点，把结构化作为建模的生长点，应成为学生在“数学化”过程中自主建构知识体系的重要策略。

【关键词】生活原型 数学活动经验 数形结合 数学化思维 结构化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型可以提高学生学习数学的兴趣和应用意识。因此，让学生通过数学学习活动，形成数学模型思想，学会“数学化”，是数学新课标的一个内涵性要求。

一、把生活原型作为建模的起点

数学模型具有现实的生活原型，这是模型建构的基础和解决实际问题的参照。从纷杂的实际问题中筛选出有用的信息，进而从生活原型中抽象出数学问题，是“数学建模”的起点。

《正反比例的意义》一课的教学片段：

1.师结合课件讲解：沙漠中气候恶劣，骆驼为了适应巨大的温差，它的体温会随着时间的变化而变化。

2.出示沙漠中骆驼的体温变化图。

3.引导观察提问：

（1）一天中，骆驼的最高和最低体温分别是多少？

（2）在什么时间段骆驼的体温是持续上升的？什么时间段又是持续下降的？

4.小结回顾，揭示两种相关联的量。

教学中通过创设沙漠中骆驼的体温随着时间的变化而变化的情境，为抽象的数学概念找到了直观形象的“生活原型”，学生借助原型从已有知识经验出发通过主动探究体悟“两种相关联的量”的含义——一个量变化，另一个量也随着变化。看似无足轻重，实则独具匠心！

二、把积累数学活动经验作为建模的基点

学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历原初经验阶段——再生经验阶段——再认性经验阶段——概括性经验阶段——再次参与多样化的数学活动——逐渐内化为概括性经验图式阶段。数学建模的过程则与数学活动经验的获得过程相契合。

《图形覆盖的规律》一课的教学片段：

师：如果小明想和爸爸妈妈一起去动物园，要拿3张连号的票，有几种不同的拿法呢？你打算用什么方法？

（学生独立尝试后汇报：用移动数字框。）

师：如果小明想取出4张、5张连号的票，有几种不同的拿法呢？先独立思考后小组交流，是否发现了规律？

生1：我们组发现每次框的数越多，平移的次数就越少，而且它们的和就是数的总数。

师（小结）：数的总数-每次框的数=平移的次数。

生2：我们组发现平移的次数比不同的拿法少1。用算式表示是“平移的次数+1=几种不同的拿法”。

数学活动经验的获得依赖于学生参与其中的教学活动。上述片段中，教师首先引导学生对原初经验进行提炼和优化，再引导学生通过操作、交流、观察、思考等丰富的数学活动，使他们经历了螺旋上升的建模过程。

三、把数形结合作为建模的支点

把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，可以为学生准确建构数学模型提供构架支点。

《素数与偶数的关系》一课的教学片段：

师：自然数按能否被2整除，可以分成哪几类？

生：奇数和偶数。

师：按因数的个数来分呢？

生：素数、合数和1。

师：那么，素数和偶数有什么关系？

生1：没有关系，因为分类标准不同。

生2：有关系，因为最小的素数是2，它是偶数。

生3：素数中有偶数，偶数中也有素数。

生4：不过，2是素数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的素数。

师：说得真好！如果我们要用下图来说明素数和偶数的关系，2在哪里呢？

生（思索）：2在两个椭圆的交汇点上。

上述教学片段中，教师巧妙地利用韦恩图，把素数和偶数的关系问题变成了两个椭圆的关系问题。原本抽象难懂的数学问题变得形象、直观。

四、把数学化思维作为建模的重点

数学学习中，数学化思维应放在第一位，掌握概念或感悟法则应放在第二位。把数学化思维作为数学建模的重点，可以使学生在学习活动中逐步摆脱条例式思维的局限，学会数学地思考。

《20以内的加法》一课的教学片段：

学生口答：1+9= 2+8= 3+7= 4+6= 5+5=

师（出示7+5=）：这道题怎么算？

生1：把7分为5和2，5+5=10，10+2=12。

师：很好！还有没有其他算法也能“凑十”以后算出结果？

生2：把5分为3和2，7+3=10，10+2=12。

师：好！还有自己喜欢的方法吗？

生3：把7分为4和3，把5分为3和2，3+3=6，4+2=6，最后6+6=12。

教学“20以内的加法”，“凑十”是一个重要法则。教师在鼓励学生使用不同的“凑十法”解决问题时，并没有线性地限定其直接“凑十”，而是让学生跳出“路径依赖”，经历想象和归纳的数学化思维过程。

五、把结构化作为建模的生长点

在较短的时间内使学生经历数学模型建构的活动过程，有效掌握新知结构、特点，结构化的“微建模”是一种尝试，也是一种探索。

《小数加减法》练习课教学片段：

9-4.37-0.639-（4.37+0.63） 6.48-（4.48+0.9）6.48-4.48-0.9

1.先分组算一算，比一比，小组交流讨论每组上、下两题有什么关系，有什么发现？

生1：两组上、下两题结果都相同，下一题计算更简便。

生2：一个数连续减去两个数就等于这个数减去两个数的和。

2.举例验证发现。（学生自主验证）

3.你能用字母式表示出这样的规律吗？

生：a-b-c=a-（b+c）或者a-（b+c）=a-b-c。

4.用简便方法计算下面两题：

3.95-2.48-0.52 11.27-（3.27+5.62）

这样的学习内容，我们可以让学生经历从计算——观察比较——建构模型——举例验证的结构化的“微建模”过程，使学生在解决问题的过程中，体验这个数学模型的特征并学会运用这个数学模型。

弗莱登塔尔曾这样说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化。”当我们在数学视野与育人视界的对接中寻找土壤，在数学思维和数学思想的共生中确立维度时，就会发现：小学数学建模教学也许就是其中一条现实的、适合的道路。

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖

（作者单位：江苏省宜兴市东域小学）