第七届“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学”综述

朱 琳



第七届“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学”综述

朱 琳1，2

（1．华东师范大学 数学系，上海 200241；2．上海交通大学 数学系，上海 200240）

1 ESU7情况介绍

第七届“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学”（European Summer University on the History and Episte- mology in Mathematics Education，简称ESU-7）于2014年7月13—18日在丹麦奥胡斯大学哥本哈根Emdrup校区召开．国际HPM组织前主席、法国南特大学的Evelyne Barbin，丹麦哥本哈根大学的Tinne Hoff Kjeldsen和丹麦奥古斯大学的Uffe Thomas Jankvist组织了本次大会．

1.1 ESU溯源

早在20世纪80年代初，法国数学教育学会发起并举办了“数学教育中的历史与认识论暑期大学”．之后，欧洲范围内成立了ESU组织，并于1993年在法国的蒙彼利埃（Montpellier）举办了第一届“数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学”．自此之后，ESU大会每隔3年举办一次，分别是1996年在葡萄牙的Braga，1999年在比利时的Louvain-la-Neuve和Leuven，2004年在瑞典的Uppsala，2007年在捷克的Prague，以及2010年在奥地利的Vienna．从2010年起，ESU改为每4年举办一次，和ICME的HPM卫星会议一起成为国际HPM组织委员会每两年一次的HPM国际会议．

1.2 ESU的目标与宗旨

ESU的面向对象包括：对于数学史如何融入数学教学感兴趣的中小学教师和大学师生，以及对于数学、数学史和认识论之间有所研究的数学史家和数学家．主要目标在于从历史、认识论和文化的视角研究数学教学，尤其是课堂实践；为数学教师、教育工作者和研究人员搭建一个分享教学思想和HPM课堂教学经验的平台；增进全世界数学教师和HPM研究者之间的合作．ESU关注的基于历史与认识论的数学教育的重点在于：以自然发生的方式来揭示数学，将促进学生对具体数学知识的理解，并帮助他们理解数学的本质以及提升数学学习的效果、激发学生对于数学学习的兴趣．

1.3 ESU7的主题

ESU-7主要聚焦在数学史和认识论研究指导下的课堂实践教学，也关注有教学意义的理论观点和历史分析，包括7项研究主题：（1）在数学教育中融入数学史的理论和（或）概念框架；（2）从认知和情感视角观察到的课堂实践，以及对于课程和教材等教学材料的研究；（3）课堂上使用的原始材料以及实际的教学效果；（4）在数学和科学的教学中，以历史和认识论为工具的跨学科方法；（5）文化与数学；（6）数学教育的历史；（7）北欧国家的数学史研究．

2 ESU7会议内容

本届会议参会代表包括来自法国、德国、英国、丹麦、意大利、美国、巴西、希腊、中国等地的数学史与数学教育专家，以及中小学教师和研究生等共计139人．会议共设大会报告6场，专题讨论2场，2小时工作坊23场，3小时工作坊16场，以及口头报告38场，简短口头报告和海报展示8场．

2.1 大会报告

ESU-7共安排了6场1小时大会报告，分属7个主题．

意大利热那亚大学的Adriano Demattè作了题为“课堂中的历史：教育的时机和开放的问题”的报告，该报告属于主题2和3．Demattè教授从理论角度批判性地分析了如下问题：诠释学和发生教学法能共存吗？数学史能提高哪种跨学科的能力？哪一类学生能从中受益？相反学生又会从中产生哪些额外的困难？哪些会受到课程的限制？并介绍了他在课堂中的一些教学案例．他同时强调，由于日常课堂教学活动的复杂性，不能简单从几个案例中得到问题的最终答案．

法国南特大学的Evelyne Barbin在其报告中梳理了自弗赖登塔尔1983年国际数学家大会的报告[1]之后30年来有关HPM研究的文献，重点介绍在对历史的理解和对历史和教育之间关系的理解下，所构建的数学史融入数学教育的理论框架．该报告属于主题1．她还在后续的工作坊中详细介绍文献综述中所引用的原始文献和历史材料．

分属主题4的大会报告是法国巴黎七大Cécile de Hosson的“通过使用早期希腊和中国宇宙学中的历史材料提升跨学科教学”．传统教学中，数学和科学这两个学科是相互分离的．通过古代希腊和中国宇宙学中的两个历史片段，融入数学和科学这种跨学科的教学，将在一定程度上改变学生对于科学本质的认识．Hosson教授在报告中介绍了古代中国的《周髀算经》、张衡的浑天仪、赵爽对“日高术”的证明等历史材料．遗憾的是，她介绍重差术时所描述的相似三角形原理，与赵爽的面积割补原理是有出入的．

来自冰岛大学的Kristin Bjarnadottir作了题为“历法和货币——融入文化、自然、社会和语言”的大会报告，属于主题5．通过介绍不同社会中所使用的历法和货币，让学生认识到这是所处的文化和语言环境的不同反映，由此促进对不同文化环境中的相关数学主题的理解．

巴西里约热内卢联邦大学GertSchubring的报告“数学教育史的一些新方法和结果”属于主题6．他介绍，数学教育史的第一篇博士论文诞生于20世纪初，其后的相关研究都是数学教育的国别史．自第一份国际期刊《国际数学教育史杂志》（IJHME）于2006年创刊后，研究的重点转变到关于数学教育史的国际比较研究．Schubring教授介绍了自己的一些比较研究成果．

分属主题7的是南丹麦大学Bjarne Toft的“图论的出现：彼得森（Julius Petersen，1839—1910）和西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814—1897）”，他以幽默的语言、生动的讲述，为大家介绍了丹麦数学家彼得森在正则图理论诞生过程中发生的历史故事．

2.2 专题讨论

大会设有两场专题讨论，每场由5名学者分别阐述观点，互相辩论，并与现场发言者进行讨论和互动，引发与会者极大的关注和思考．第一场专题讨论的主题为“数学教育中信息技术的历史和哲学方法”，讨论包括如下3个问题：（1）教学活动中计算机技术的使用是如何改变数学学习过程的？这种改变的程度如何？数学是什么？数学是如何理解和学习的？（2）数学教育中要持续使用计算机技术吗？（3）计算机技术在做数学和学数学中有哪些不同？专题讨论中提到了影响数学教育的不同领域，包括学科领域、专业领域、学术领域以及学生的日常生活领域，并特别强调：不同的理论要求不同领域的实证研究问题与教育教学建议．第二场专题讨论的主题为“数学史融入数学教育的课堂评价”，由来自英国、美国、德国、法国的5名学者探讨了在数学史材料融入课堂教学中，如何建立定性和定量的评价模式，来评估课堂教学活动的效果．

2.3 工作坊

历时5天的大会共开设了39场工作坊，在相同时间里同时进行多场工作坊．由组织者准备有关历史、认识论、教学法以及教学的原始材料，分发给参与者进行阅读和思考，并展开充分的分析和讨论．其中，2小时工作坊讨论的主要是课堂教学材料，3小时工作坊讨论的主要是关于历史和认识论材料．各工作坊的主题分布如图1所示．

图1 工作坊的大会主题分布

工作坊以灵活多样的形式，展示了报告人在相关主题的实践和研究，并由报告人带领参与者一起阅读原始文献、研究文献、课堂讲义等，针对相关主题进行讨论和思考．表1给出了各工作坊主题的内容．

表1 工作坊统计

2.4 口头报告和海报展示

38场口头报告也是在不同的时间段中分别同时进行．表2给出了各主题的分布情况．

表2 口头报告主题分布

注：ESU大会将主题2定为课堂实践观察以及课程和教材等教学材料的研究，将主题3定为课堂上使用的原始材料以及实际的教学效果研究，这两个主题相互交叉很难严格区分，因此在大会报告和口头报告环节，相关主题都归入主题2&主题3．

与此可见，对于在数学教育中融入数学史的理论和概念框架的研究，共计18场，占了口头报告的主要部分．其中，德国学者Hans Niels Jahnke阐述了托普利兹发生教学法的意义和内容；华东师范大学汪晓勤教授综述了中国大陆HPM研究领域的进展，并将数学史融入数学教学的方式分成附加式、复制式、顺应式和重构式；巴西学者Aline Bernardes 和Tatiana Roque基于Sfard“思考即交流”以及Epple认识对象和认识技术的概念理论进行分析，设计将矩阵的历史融入数学课堂的教学活动；华东师范大学的王科介绍了HPM领域的设计研究方法：包括调研与分析、开发与设计、执行与操作、分析与评估、应用与推广5个阶段，并形成了教师知识领域、数学教育者知识领域和数学史专家知识领域的HPM三棱锥模型；墨西哥Gabriela Buendía Abalos从“为何”角度，阐述认识论是确定教学方式的重要基础，并探讨了发展数学史融入教学理论的必要性；法国的Thomas Hausberger则介绍了基于在Montpellier大学实施的教学实验所得到的关于历史和认识论的理论及实践框架．

主题2及主题3的口头报告涉及实际的课堂教学案例以及课堂教学材料，内容包括对数概念教学、统计学、圆的大小关系比较、几何软件解决数学问题、圆的面积教学、椭圆教学等方面．

15分钟的简短口头报告和海报展示共计8场．其中1场介绍“数学，教育和战争”，属于主题5；其余均属于主题2和主题3，包括意大利Miglena Asenova概率案例的实证研究，意大利Michela Maschietto的报告“帕斯卡：从历史到课堂”，墨西哥Alejandro Rosas-Mendoza对于残疾学生这一特殊教育的介绍，墨西哥Leticia del Rocío Pardo-Mota对于中国古代数学中级数和序列的研究，以及华东师范大学朱琳介绍的数学史融入导数几何意义教学的课堂案例和美国Laurence Kirby展示的“从古代数学到现代数学”视频．

3 ESU7会议内容的特点

3.1 重视教育取向的数学史原始资料的挖掘

数学是人类几千年发展历史中智慧的结晶．漫漫历史长河中，数学史的资源取之不尽用之不竭．HPM的研究不是为历史而研究历史，而是为教育而研究历史，是教育取向的数学史研究[2]，需要挖掘寻找适合课堂教学的数学史，并针对原始历史素材和资料进行“再创造”．Frank Swetz介绍了古希腊、古罗马、古代中国历史中丰富的数学史资源；Michel Roelens利用欧洲战争中使用的星盘教学生计算白天的长度、决定当地时间等，激发学生对数学和自然科学的兴趣；Caterina Vicentini开创了“数学游戏角”，利用欧拉的代数算法发明了关于算术级数的游戏；Kathleen Clark研究了诺贝尔物理学奖得主保罗·狄拉克（Paul A. M. Dirac，1902—1984）解决多项式方程的方法，并与历史上其它的方法进行比较；萧文强研究了著名的Malfatti问题：给定三角形中3个内接圆形的几何问题；Tinne Hoff Kjeldsen介绍了卡尔达诺和沃利斯发明复数的两种不同方法；Klaus Volkert介绍了18世纪的平行线问题，等等．尤其值得关注的是，本次ESU7中由西方学者介绍的古代中国数学史专题涉及1个大会报告、3场工作坊和5个口头报告（含简短口头报告），内容包括《九章算术》、《周髀算经》、《圆容较义》等古代中国数学名著以及割圆术、重差术、中国剩余定理等数学思想和方法以及幻方、数独等古老中国的数学游戏，与此可见西方学者对东方数学史的重视与研究．

3.2 关注实际的课堂教学和实践

HPM研究的目的是“为教育而历史”，要把数学史融入数学教学，不仅着眼于理论研究，更重要的是实践开发[3]．本次大会工作坊和口头报告环节，涉及实际课堂教学的比例分别为43%和21%，可见比重之重．其中，Michela Maschietto用阿波利尼斯的锥形槽模型和旦德林球模型引入圆锥曲线教学；JanetHeineBarnett指导学生通过阅读拉格朗日、柯西、凯莱关于群论的原始讲义，以历史发生的顺序讲解抽象代数知识；RenaudChorlay基于《几何原本》和古巴比伦求近似平方根的方法，利用动态几何软件设计3种不同的学习导数的课堂活动；GhislaineIdabouk利用历史上海伦求根的近似值的方法指导教学，并分析了历史材料使用和历史视角教学的相关性．

3.3 强调数学史在教师教育中的作用

教师是HPM教学和研究的主体，教师的HPM能力和素养是数学史融入数学教学的根本和保证．教师教育关注的研究主要分为职前教师教育和在职教师培训．本次大会中，与教师教育的HPM研究相关的工作坊有7个，包括以色列在职教师教育中介绍“明天的历史”，土耳其在职前教师教育中指导教师挑选和准备原始历史资料，丹麦在职前教师教育中设计历史融入逻辑增长的教学案例，以及德国和西班牙的教师教育项目介绍．口头报告也有3个主题与教师教育相关，包括“教师反思中传统与非传统观点的交叉问题”、“用数学教育中的社会文化方法来调查职前中学教师的数学史能力”以及“职前教师对数学的理解”．

3.4 中国大陆HPM研究首次走进ESU

值得一提的是，共有7位中国大陆HPM研究者参加了ESU-7．其中6人各作了30分钟的口头报告，1人作了15分钟的简短口头报告和海报展示，主题包括汪晓勤：“中国大陆的HPM研究”、王科：“设计研究——HPM研究领域的新范式”、林佳乐：“HPM的理论框架”这些理论探讨，还有田方琳：“数学史融入对数概念教学”、洪燕君：“HPM视角下圆的面积教学”、邹佳晨：“发生教学法教椭圆”以及朱琳：“发生教学法教导数”的实践教学案例研究．据香港大学的萧文强教授回忆，在HPM领域的国际会议中，大陆学者最早是华东师范大学张奠宙教授1988年在法国马赛Luminy镇参加的由ICME发起，HPM主办的“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会．此后陆续有郭书春、曲安京等大陆学者参与ICME的HPM卫星会议．但在此之前，华人学者中只有萧文强教授曾经参加ESU会议．作为大陆学者第一次参加ESU这一使用英语为通用语言的国际性学术会议，ESU-7标志着中国大陆HPM研究首次以团队展示形式走向了世界．

4 若干启示

4.1 HPM理论框架的构建

HPM组织自从1972年成立至今，数学史与数学教育之间的关系从为何到如何的讨论已经逐渐走向成熟．克莱因、卡约里等数学家、数学教育家都曾高度评价数学史在数学教育中的价值和作用，数学史在数学教育中的意义得到更多的关注、重视和认同．海克尔的“个体发展重演种族发展”、弗赖登塔尔的再创造理论、建构主义、发生教学法，都从各方面提供了HPM研究的方法．而今的HPM研究，又越来越多地与信息技术、数学教育心理学、认知理论等相结合．HPM的课堂需要有合适的课堂评价模型以评价教学效果和教育价值．这些都需要研究者在理论研究的基础上，结合实证研究的方法，进行深入地研究和思考，在前人工作基础上构建理论和实践领域的框架模型．

4.2 HPM教学案例的深入开发与实践

哪些数学史材料能够用于课堂教学？如何将数学史材料用于课堂教学？这些问题需要在课堂教学的实践中进行进一步的研究和验证．HPM研究者的任务，是要选择合适的数学专题，挖掘原始的历史资料和材料，对历史资料进行重构与“再创造”，以开发出适合课堂实际教学的案例．历史的宝藏博大精深，任一数学专题的教学，如导数、对数、负数的教学案例，都有丰富的史料可以利用，有不同方案的教学设计．HPM研究者与教师一起，对教学案例进行深入的开发和实践，是HPM研究领域的重要工作．

4.3 HPM与教师教育的研究

数学史是数学教师用于数学教学的必备知识[4]，而职前教师和在职教师是实现HPM实践教学的关键因素．通过设计和开发相应的职前和在职教师培训项目的课程，提升数学教师的数学史素养，并提高他们运用数学史融入数学教学的能力，对教师专业能力的成长和HPM研究的深入开展，都是不可或缺的重要部分．

4.4 中国HPM研究者的工作任重道远

中国大陆的HPM研究第一次走进ESU国际会议，从理论探讨、研究方法探索到实践案例开发设计，作了充分精彩的展示，引起了西方学者的进一步关注和东西方之间HPM领域的深入交流．大陆的HPM研究者还需要克服语言障碍，深入整理研究成果和案例，在国际HPM学术期刊上进行公开发表和宣传，以更加积极的姿态活跃于国际HPM学术舞台．同时要看到，由于中国古文、英文、法文等数学史文献翻译的问题，很遗憾出现了一些错误．需要大陆HPM学者乃至数学史研究者对古代中国数学史进行进一步的宣传和校正，以更加准确地传播古老东方的数学史成果和思想精髓．东西方的数学史与数学教育还需继续深入地交融合作，反思对方的做法和经验，建立适用的理论和实践，以真正提高数学史融入数学教育的理论和实践水平．

2014–08–12

G40-034

A

1004–9894（2014）06–0086–04

[责任编校：周学智]