一维无界域上Burgers方程的局部人工边界条件

周道，金继承

（湖南工业大学理学院，湖南株洲412007）

一维无界域上Burgers方程的局部人工边界条件

周道，金继承

（湖南工业大学理学院，湖南株洲412007）

针对无界域上的一维Burgers方程，首先运用Cole-Hopf函数变换，将非线性Burgers方程变换成线性的热传导方程；再通过Padé逼近得到局部的人工边界条件；最后，对得到的非线性初边值问题进行有限差分离散。数值实验表明，提出的人工边界条件是恰当的，并且是有效的。

Burgers方程；人工边界条件；有限差分方法；Pad逼近

1 背景知识

Burgers方程是1948年J. M. Burgers[1]为描述湍流问题而首次提出。随着研究的深入，人们发现它是对流和耗散流之间相互影响的简单模型之一，它可以模拟湍流、激波等物理现象，它是Navier-Stokes方程的一种简化形式，这使得它成为一个非常重要的模型方程。这类方程是非线性的，解析解求解复杂或者难以求解；而它要求在无界域上求解，使得数值方法求解也变得困难和低效。因此，研究此类方程的高效数值算法具有重要的理论和现实意义。

近20年来，针对无界域上方程的求解，一种重要的方法是构造人工边界条件。这种方法已成功应用于许多无界域问题的求解[2-6]，本文亦采用此类方法。其他学者针对无界域上的Burgers方程也有一些研究成果：文献[7]给出了一维情况的准确人工边界条件，并应用差分方法进行了数值试验；文献[8]应用Cole-Hopf函数变换和傅里叶逼近给出了二维情况的准确人工边界条件和一类近似人工边界条件；文献[9]引入了一种差分格式，给出一维Burgers方程的一类近似的人工边界条件，并进行了收敛性分析。但是这些人工边界条件都是非局部的。

考虑如下一维Burgers方程初值问题：

式中：v＞0是粘性系数；

f(x, t)和u0(x)分别是外界能量和初始条件，都是具有紧支集的函数，且满足

问题（1）是一个在无界域上的问题，通常引入如下2个人工边界：

显然，当用差分方法对以上边界条件进行离散时，计算当前时刻的值通常要用到之前几乎所有时间步上的值，称这种边界条件为非局部的（non-local）。与之对应，如果一种边界条件被离散时，计算未知函数当前时刻的值，只需用到之前少数几个时间步上的值，那么称这种边界是局部的（local）。与非局部的人工边界相比，局部的人工边界条件的计算复杂程度较低，需要的存储空间较少。

2 局部人工边界条件的构造

考虑构造一维无界域上满足条件（2）的Burgers方程（1）的人工边界。

4)农村生活、分散型畜禽、种植业废弃物污染负荷削减与资源化利用技术体系研究。三峡库区农户生活、分散型畜禽、种植业废弃物等污染严重，可针对此情况进行农村生活垃圾分类收集、集中储存、定期清运；分散型畜禽粪便的资源化利用技术及模式，如沼气农业生态循环利用技术、生物废水生物挂膜处理技术、高效安全土地处理技术、堆肥处理技术；秸秆资源综合利用的关键技术及循环利用模式，如秸秆生物质气化利用技术、秸秆碳化、膨化以及表面改性利用技术研究。

由于函数u(xr, t)是未知的，所以式（7）不能独立求解。但如果假设边值条件u(xr, t)是给定的，那么问题就是适定的。

下面用Cole-Hopf变换将（非线性的）Burgers方程转化成（线性的）热传导方程。

这是一个标准的热传导方程。

由于v(xr, t)是一个未知函数，所以问题（10）也不是一个适定问题。现在，对v(x, t)引入相对于t的拉普拉斯变换

对式（10）中第一个等式两边同时作拉普拉斯变换，则有

方程（11）是齐次的，有2个线性无关的特征解，分别是：

综合式（20）与（22）可得在人工边界x=xr上的一个局部人工边界条件：

式中gr(t)满足式（19）。

类似地，可以求得在人工边界x=xl上的一个局部人工边界条件为

通过使用局部人工边界条件式（23）和式（24），无界区域问题（1）可以转化为定义在有界区域i上的初边值问题：

式中gt(t)和g1(t)分别满足式（19）和（25）。这是一个非线性初边值问题。

3 全离散差分格式的构造

首先构造非线性初边值问题（26）的全离散差分格式。

取2个正整数M和N，并记

从而可得

这就是二阶Crank-Nicolson格式。

再考虑式（26）中边界上的人工边界条件的离散。

以上格式是非线性的隐式格式，可采用简单的迭代法来求解。

4 数值实验

考虑没有源项的Burgers方程[7]

它有准确解

这个解表示2个波分别向左右传播，同时波幅慢慢衰减。将它的初始值作为数值计算的初值，取=h，K=10，并计算2种不同参数的解。

表1和表2分别列出了2种情形下误差和精度的实验结果，并且与文献[7]中的数值结果进行比较，其中E∞和E1误差分别定义为：

表1 当v=1.0，T=16时，E∞和E1的误差和精度Table1The errors and accuracy for E∞and E1when v=1.0 and T=16

表2 v=0.1，T=12时，E∞和E1的误差和精度Table2The errors and accuracy for E∞and E1when v=0.1 and T=12

从表1和表2中数据可知，E∞和E1都有近似2阶精度。考虑到Crank-Nicolson格式的截断误差为，所以得到的数值解基本上达到了最佳误差阶。将本文的结果与文献[7]中的准确人工边界条件求出的结果作比较，可以看出2个结果相似度非常高，也说明了方法的有效性。

图1，图2分别是v=1.0，T=16时和v=0.1，T=12时，M取不同的值得到的相对误差图，其中K都取10。由图可知，随M的增大，数值结果逐渐逼近真解。

图1 v=1.0，T=16时的相对误差（K=10）Fig.1The relative errors (K=10) when v=1.0 and T=16

图2 v=0.1，T=12时的相对误差（K=10）Fig.2The relative errors (K=10) when v=0.1 and T=12

图3和图4是v=1.0，T=16时和v=0.1，T=12时，在Pad逼近中取不同的K值，边界上相对误差的变化图，其中M=64。由图可知，随着K的增大，所求的边界误差逐渐减小，这证明了方法的有效性。

图3 v=1.0，T=16，M=64时，边界x=xr上的误差随K变化情况Fig.3The errors at buondary x=xrvarying with K when v=0.1，T=16 and M=64

图4 v=0.1，T=12，M=64时，边界上的误差随K变化情况Fig.4The errors at buondary varying with K when v=0.1，T=12 and M=64

5 结语

针对无界域上的一维Burgers方程，本文首先运用Cole-Hopf函数变换，将非线性的Burgers方程变成线性的热传导方程，再运用Pad逼近得到局部的人工边界条件。这样的人工边界条件与非局部的人工边界条件相比，计算复杂性较低，存储空间较少。数值试验表明，本文提出的人工边界条件，在保证计算效果的同时提高了计算的效率，因此方法是恰当和有效的。

[1]Burgers J M. A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence[J]. Advances Applied Mechanics，1949，1 (2)：171-175.

[2]Han H D，Wu X N. Approximation of Infinite Boundary Condition and Its Application to Finite Element Methods [J]. Journal of Computational Mathematics，1985，3(2)：179-192.

[3]Givoli D. Numerical Methods for Problems in Infinite Domains[M]. Amsterdam：Elsevier，1992：39-81.

[4]Goldstein C I. A Finite Element Method for Solving Helmholtz Type Equations in Waveguides and Other Unbounded Domains[J]. Mathematics of Computation，1982，39(160)：309-324.

[5]Wu X，Sun Z Z. Convergence of Difference Scheme for Heat Equation in Unbounded Domains Using Artificial Boundary Conditions[J]. Applied Numerical Mathematics，2004，50(2)：261-277.

[6]Jin J，Wu X. Analysis of Finite Element Method for One-Dimensional Time-Dependent Schrdinger Equation on Unbounded Domain[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，220(1)：240-256.

[7]Han H D，Wu X N，Xu Z L. Artificial Boundary Method for Burgers’Equation Using Nonlinear Boundary Conditions [J]. Journal of Computational Mathematics，2006，24(3)：295-304.

[8]Wu X，Zhang J. Artificial Boundary Method for Two-Dimensional Burgers’Equation[J]. Computers & Mathematics with Applications，2008，56(1)：242-256.

[9]Sun Z Z，Wu X N. A Difference Scheme for Burgers Equation in an Unbounded Domain[J]. Applied Mathematics and Computation，2009，209(2)：285-304.

[10]Bamberger A，Engquist B，Halpern L，et al. Higher Order Paraxial Wave Equation Approximations in Heterogeneous Media[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics，1988，48(1)：129-154.

（责任编辑：邓光辉）

Local Artificial Boundary Conditions for One-Dimensional Burgers Equation in Unbounded Domain

Zhou Dao，Jin Jicheng
（School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

With respect to one-dimensional Burgers equation in unbounded domain, the nonlinear Burgers equation is firstly transformed into a linear heat equation by the Cole-Hopf function transformation, and then the artificial boundary conditions are obtained through Padé approximation, finally a finite difference discretization is applied for the obtained initial-boundary value problem. The numerical experiment shows that the proposed artificial boundary conditions are appropriate and effective.

Burgers equation；artificial boundary condition；finite difference method；Pad approximation

O241.82

A

1673-9833(2014)06-0007-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.06.002

2014-09-26

国家自然科学基金资助项目（11101136），湖南省自然科学基金资助项目（14JJ2114），湖南省教育厅科学研究基金资助项目（14A164），湖南工业大学自然科学研究基金资助项目（2012HZX15）

周道（1982-），男，湖南株洲人，湖南工业大学讲师，中南大学博士生，主要研究方向为偏微分方程数值解，E-mail：zhoudao_de@163.com