直角三特殊线段的关系与应用

王方东

众所周知，等腰三角形顶角的三特殊线段（顶角的平分线，底边上的高和中线）合一，至于直角三角形直角三特殊线段如何呢？课本中没有这方面的内容，因此，在教学之余的研究中，获得直角三角形直角三特殊线段之间的关系归纳整理于后，以资同仁参考.

引论1：在直角三角形中，直角三角形斜边上的高等于两直角边的积与斜边之长的比.

图 1如图1，易证CD =abc

引论2：在直角三角形中，直角平分线的长等于两直角边a，b之积的2倍除以它们之和的商.

已知：如图2，在△ABC中，

∠ABC = 90°，AC=b ，图 2BC =a ，

AB =c ，CE是∠ABC的平分线.

求证：CE =2aba+b.

证明 设CE=y，AE=x，

那么BE=c-x，

由勾股定理得：c=a2+b2.

∵CE是角平分线，

∴AEBE=ACBC，即xc-x=ba，∴x=bca+b，c-x=aca+b.

在 △ACE中，由余弦定理，得：x2=b2+y2-2bycos45°

∴2by=b2+y2-bca+b2.①

同理，得：2ay=a2+y2-aca+b2.②

由②-①得：2（a-b）y=（a2- b2）-aca+b2-bca+b2= （a+b）（a-b）-a-ba+bc2.

∴y=a+b2-c22（a+b）=a2+2ab+b2-c22（a+b）=2aba+b.

即：CE=2aba+b.

由引论得到：

结论1（角平分线——高） 在直角三角形中，直角平分线的长除以斜边上的高等于斜边的2倍除以两直角边的和.

图 3已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，CE是∠ACB的角平分线，CD是斜边上的高.求证：CECD=2ca+b.

证明 由引论，得：

CD=abc，CE=2aba+b，∴CECD=2ca+b.

结论2（中线——高） 在直角三角形中，斜边上的中线与斜边上的高的积等于两直角边的积的二分之一.

图 4已知：如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，CD，CE分别是斜边上的高和中线. 求证：CE·CD=12ab.

证明 由引论1得：CD=abc.

又 ∵∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，

∴CE=12c.∴CE·CD=12ab.

由引论1和引论2得到：

结论3（中线——角平分线） 在直角三角形中，斜边上的中线与直角平分线之积等于直角三角形三边之积除以两直角边之和的商的22倍.

图 5（如图5，CF·CE=abca+b·22）

结论4（中线——高——角平分线） 在直角三角形中，直角平分线平分斜边上的高与中线的夹角.

已知：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是角平分线，CD，CF分别是斜边AB上的高和中线.求证：CE平分∠DCF.

证明 在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴∠ACD=∠B.

又 ∵CF=BF，∴∠BCF=∠B，∠ACD=∠BCF.

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ACE=∠BCE.

∴∠DCE=∠FCE，即CE平分∠DCF.

图 6例1 如图6，在△ABC中，∠ACB是直角，AC∶BC= 3∶5，∠ACB的平分线CE=17 cm，求AB边上的高CD.

解 ∵AC∶BC=3∶5，不妨设AC=3k，BC=5k，

∴AB=（3k）2+（5k）2=34k.

由结论1可得：CECD=2ca+b=2·34k3k+5k.

∴CD=417 cm.

图 7例2 在直角△ABC中，∠C=Rt∠，作∠C的平分线与AB交于E，与AB的垂直平分线交于M.求证：FC = FM.

证明 过C 作CD ⊥ AB，

又 ∵FM ⊥ AB，∴ CD ∥FM.

∴ ∠DCM=∠M.

由结论4 知：∠DCM=∠MCF，

∴∠MCF=∠M.∴CF=MF.