罗素数学哲学“映射”概念分析纲要

施经

【摘要】罗素在一系列数学哲学论著中，特别是他的《数学哲学导论》中，通过论述映射问题，试图解决传统数学中存在着的在处理数和数序时“无限”和“有限”的矛盾.本文分析罗素解决这一问题的方式及在哲学上这种解决方式可能带来的影响.

【关键词】映射；数学；罗素

对罗素的关注，在我国是比较早的.但在某种程度上笔者认为，这种关注在我国学界正在走着一种退步的路.相较于早期最先引进罗素的数理逻辑演讲，现在的研究者，越来越关注的是罗素作为一名社会活动家，作为一名和平主义者的较为新鲜活泼的一面.哪怕是专业的哲学研究者，也越来越多将罗素简单视为一名畅销书作者和一个哲学史的过渡性人物.仅仅满足于此，我们就能够想见国内学界对罗素的研究是多么苍白和贫陋.国外对罗素的研究，同样是不能够令人充分满意的.但从事数学哲学研究的专业人员，无疑充分认识到了罗素及其著作的重要性.这里囿于篇幅和主题，就不涉及国外的研究情况.我在此主要评判的是国内的哲学及哲学史和思想史研究者，他们忘记了，罗素首先是作为一名数学家、逻辑学家而成就自己的学术和声名的.并且基于这种确信，我认为，罗素的分析工具是科学主义的.

映射概念（姑且相信这样的说法是正确的），并非罗素提出的.相反的，这是源于数学上长久以来就有的一个地图问题.大家知道，我们在绘画地图的时候必须使用比例尺相应地放大或者缩小地图，以使一定较小容量的纸张能够容纳绘画对象缩放后表征的内容.任何人，在现实实践中，都不会去描绘一幅和实物一一对应，完全一般大小的地图.这样的地图，图中之物的每一天都和现实对象的每一天对应相等，自然是最为理想最为精确的地图，可是一般而言就失去了自己的实用价值了.

但是缩小的地图中似乎存在着一个悖论.因为地图要绘画出来（如果它是准确的地图），它就必须和实物存在一一对应的关系.这种关系，是基于一种比例收缩或扩大的结果，这就是映射.所以我们完全可以说，地图是实物的映射产物.换句话说，地图如果是完全映射的话，实物的每一个点都能在地图上找到对应的点.那么，实物中存在的无数点，就映射于地图的无限点之中.所以地图中的点和实物的点是一样多的.可是，地图毕竟是无限缩小或扩大了的实物，明显的二者间的面积差距，很难说服人们相信二者的点是相等同的.这就是地图悖论.也是映射问题很难解释清楚的.

罗素相信这个问题的非凡意义.他的分析方式是，我们不能由于这种悖论而回到传统黑格尔哲学对无限和有限的混乱分析之中.黑格尔面对这样的问题，他会怎么说呢？须知，黑格尔是一向轻视数学的，他无疑会将其作为数学自身混乱的依据，作为无限和有限相互辩证转换的依据，但这只是掩盖了问题，并无助于我们问题的分析和解决.

罗素认为，这问题暗示着我们此前在分析中的一个问题，就是说，我们盲目的将无限和有限的适用公式或命题一致化.就是说，我们一直错误地认为，适用于我们有限经验的公式等等分析原理和工具，势必同样适用于无限的事物和问题.而这一前提假设则是错误的.

罗素的可贵之处，毋宁说，就是这种坚持到底的分析主义作风.罗素指出，映射所以可能，不是因为点或面积的总数在发生映射之后没有发生变化，而是由于这种变化并不会影响其他的某种尚未揭示出来的实质之物.映射发生了，从原来的A，变成仅仅局限于纸上一隅的B.可是，我们依然知道这是原物的对应之物，而不会认为这是同原物毫无关系的它物.原物和地图对照物，二者并非在同一坐标上的同一类（如果这里可以使用“类”的话）物.我们假设原物的外形轮廓的走向和圈围二层的图形能够用一个函数F表示.这个函数无疑是极为复杂的，但是我们现在并不涉及这个函数涉及的元以及其他的复杂的内部结构问题.我们相信，这个函数存在着一个可以观察的变元或者变量a.最初已经说过，A与B并不是在一个坐标系中的两个函数，所以它们的变化并不是因为简单的位移造成的，即便是位移，对它们形状的对应关系也不造成破坏，所以这个位移是可以忽略不计的.那么，发生变化的就是a.由于a过渡为a′，或者说，a被一个函数f定义，这个f相应的值成为新的函数F的相应确值.这样就发生了地图大小的变化，所以这个大小的调整可以是随意的.那么这里涉及无限和有限的关系吗？很难说，因为我们不知道发问者关注的这个关系是哪里的关系.可是我们现在至少已经确知，这里发生的变化仅仅是变量a的变化.如果由a的每一个取值组成一个序列C，那么，这个序列可能是无限的.而经过F取值的a′组成的序列，也可以是无限的.所以某种程度而言，这里并不涉及严格的无限、有限的诘问辩难.

那么，罗素的这一解决，或者更正确地说，数学家的这一解决方式，在这么小的一个方面，能够给予我们怎样的启示呢？我以为，最简单地说，就是祛除一切的神秘和偏见.老实说，没有坚实的科学主义基础，一门学科就会成为神秘主义的巢穴.沉溺于神秘主义的词汇，不仅仅是满足于拖沓和不实际有效地解决问题，更是对自己精神和道德的败坏.

【参考文献】

[1]Bertrand Russell.Introduction to Mathematical Philosophy， DOVER PUBLICATIONS， INC.， New York， 1919.

[2]Bertrand Russell.A History of Western Philosophy， SIMON AND SCHUSTER， NEW YORK， 1945.