函数的零点和方程

巩继忠

【摘要】函数的零点和方程的根密不可分，在高考试题中常见，本文对函数的零点和方程的根之间的联系，根据几道例题从一个全新的思路介绍在高考实战中的解题方法.

1.利用零点存在性定理判断

设f（x）=ex+x-4，则函数f（x）的零点位于区间

A.（-1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）

解 f（x）=ex+x-4在实数集上是增函数

f（-1）=e-1-5<0，f（0）=-3<0 f（1）=e-3<0，f（2）=e2-2>0.

则f（1）f（2）<0.

所以选C.

2.利用解方程判断

若函数f（x）=log2（a-2x）+x-2存在零点，则a的取值范围？

解 若f（x）存在零点，则方程log2（a-2x）=2-x有根，

即22-x=a-2x有根.

令2x=t，0

则原方程等价于4t=a-t有正根

即t2-at+4=0有正根（-a）2-4×4≥0，，

t1+t2=a>0.

所以a≥4.

3.利用函数的性质判断

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=12，则f（x）=0在区间[0，8]内根的个数为？

解 由f（x+1）=f（x-1）可知f（x+2）=f（x）

所以函数f（x）关于直线x=1对称，因为函数f（x）=0在区间[0，1]内有且只有一个根x=12，所以函数f（x）=0在区间[0，8]内根的个数为8个.

4.利用数形结合判断

已知函数f（x）=2xx≥2

（x-1）3x<2 若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围？

解 作出函数f（x）的图像，

由图像可知要使f（x）=k有两个不同的实数根，则有0

5.利用导数判断

若函数f（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为？

解 根据x∈[-3，3]可知x=±π4，±3π4，

故cosx=0有4个零点，

又令g（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013

g′（x）=1-x+x2-x3+x4-…-x2011+x2012=1+x20131+x，g′（x）>0.

故函数在[-3，3]上递增，g（-1）<0，g（0）>0，所以函数g（x）有且只有一个零点，

所以函数f（x）有5个零点.