整体思维的巧用

叶志标

【摘要】整体思维的几种方式在解题中的巧用.

【关键词】整体思维； 巧用

某些数学问题用常规方法解答，可能难度较大；若从另一角度考虑，放在整体上来分析，突出问题的整体结构，从整体入手，往往会“柳暗花明又一村”！

一、整体计算

例1 已知sinθ-cosθ=1/2，求cos3θ-sin3θ的值.

分析 若把已知sin2θ+cos2θ=1结合，求出sinθ，cosθ的值，再代人计算比较繁.若从整体入手，则较轻松.

由sinθ-cosθ=12，两边平方，得1-2sinθcosθ=14，

∴sinθcosθ=38.

∴原式=（cosθ-sinθ）（cos2θ+sinθcosθ+sin2θ）=-12×1+38=-1116.

例2 （12江西八校联考）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1-e2|=.

分析 把2e1-e2视为一个整体.

∵|2e1-e2|2=（2e1-e2）2=4e21-4e1·e2+e22=4e21-4|e1|·|e2|cos60°+|e2|2=4×12-4×1×1×12+12=3.

∴|2e1-e2|=3.

二、整体设元

例1 有A，B，C三种文具，若购买A文具4件，B文具7件，C文具1件，需51.3元；若购买A文具5件，B文具9件，C文具1件，需62.5元.问三种文具各买一件需多少元？

分析 已知条件只有两个，无法分别求出三种文具每件的价钱，但是可以把三种文具各买一件视为整体.

设A，B，C三种文具每件的价格分别为x元、y元、z元，则

4x+7y+z=51.3，

5x+9y+z=62.5.

上下两个方程分别为①、②，①×4-②×3，得

x+y+z=17.7，即三种文具各买一件需17.7元.

例2 在等差数列{ an}中，已知d=3，且a1+a3+a5+…+a99=80，求数列的前100项和S100.

分析 若按公式需要知道首项a1或者最后一项a100，比较繁琐.若把已知当作一个整体则较方便.

由等差数列的定义知：a2+a4+a6+…+a100=（a1+d）+（a3+d）+（a5+d）+…+（a99+d）=a1+a3+a5+…+a99+50d=80+50×3=230.

∴S100=a1+a2+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+a2+a4+a6+…+a100=80+230=310.

三、整体代入

例1 已知x=1+i，求5x3-7x 2+4x的值.

分析 若把x=1+i直接代入求解，较繁.若把已知化为x-1=i，再代入，则难度会降低不少.

∵x=1+i，∴x-1=i两边平方整理，得x2-2x+2=0，∴原式=（x2-2x+2）（5x+3）+2=2.

例2 如果a是方程x2-3x+1=0的根，试求2a5-5a4+2a3-8a2a2+1的值.

分析 从已知方程求出x的值，再代入，运算量大.从整体入手就轻松多了.

∵a是方程x2-3x+1=0的根，

∴a2-3a+1=0，∴3aa2+1=1，

原式=（a2-3a+1）（2a3+a2+3a）-3aa2+1

=-3aa2+1=-1.

例3 若x=1+52，则x3+x+1x4=.

分析 ∵x=1+52，∴x2-x=1，

∴原式=x3+x+（x2-x）x4=x3+x2x4=x+1x2=x+x2-xx2=x2x2=1.故填1.

例4 若x=19-83，则分式x4-6x3-2x2+18x+23x2-8x+15=

.

分析 在已知条件是等式的求值中，把已知条件变形后，整体代入求值，会化难为易.

∵x=19-83=（4-3）2=4-3，

∴4-x=3.

两边平方整理，得x2-8x+13=0，

∴原式=（x2-8x+13）（x2+2x+1）+10（x2-8x+13）+2=102=5，

故填5.

结语 整体思想与华罗庚的统筹法有异曲同工之妙！在解题中，如果能够根据题目的特点，灵活利用整体思想，往往能达到化繁为简，化难为易.因此，它对开拓学生视野，活跃学生思维，培养兴趣都起着举足轻重的作用！