为学生自主建构知识提供空间

谢晓霞

【摘要】传统的定理教学，教师更多是把数学定理直接呈现给学生，重结论、轻过程，导致学生没有经历和体验知识的研究过程，不利于学习能力的自然生成，不能培养“会学”的能力.如何在定理教学上为学生自主建构知识提供足够的空间，让学生真正通过自己的思维活动主动地建构自己的数学理解，享受发现的快乐？这使我在进行“余弦定理”的教学时面临挑战.

【关键词】余弦定理；教学评价

2011年陕西省高考文理科都有一道解答题 “叙述并证明余弦定理”.余弦定理的应用对学生来说并不陌生，但是，如何规范地叙述并证明余弦定理，难住了一些学生.为了充分调动学生的学习兴趣，发挥学生在教学中的主体性，本课的教学采用探究式的教学方式，即沿着“创设情境，提出问题——构建模型，解决问题——追踪成果，提出猜想——验证猜想，归纳定理——巩固深化，应用知识”的主线，使学生真正成为知识的“发现者”和“创造者”.下面笔者分几个方面谈谈本人对“余弦定理”的教学评析.

（1）精心设置问题情境，促进学生自主学习

教材在引入余弦定理内容时，提出探究性问题：如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角？这样的探究性问题太直白，无法激发学生的激情.为此笔者将这个探究性问题赋予生命力，从应用需要出发创设了数学情境.该情境取材于教材24页解三角形应用举例的习题.修改成情境问题为：福厦高铁路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧洞.挖隧洞就涉及一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC.若测得AB=300 m，AC=400 m，张角A=60°，则BC等于多少？

（2）给足空间，提高学生学习效率

首先，给足学生思考的时间.现实教学中许多教师过高地估计学生，不愿给学生留有过多的思考时间，当学生回答不出来时，教师也没有思考如何去启发学生，这种“老师讲，学生听”的灌输式教学，其结果必然是学生“只知其一，不知其二”.

新课标提出要改变学生的学习方式，提高学习效率，就需要努力培养学生主动学习的能力.预习就是培养学生自觉主动学习、提高教学效果的有效途径之一，是学生感知新知识、发展思维的重要手段，有助于了解下一节要学习的知识点，为上课扫除部分知识障碍，通过补缺，建立新旧知识间联系，从而有利于知识系统化，有助于提高课堂学习的效果.对于本节课情境问题的解决，笔者设计成课前作业，让学生不仅有充足的时间进行独立思考或合作探究，也有助于合理安排课堂时间.

其次，给足学生思维的空间.在具体解斜三角形的过程中鼓励学生“一题多解”，激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的理解，增强学生对数学思想和方法的运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和创造性；同时使学生有一种成就感，激发学生的学习兴趣，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会向量方法的优美简捷、知识交融、方法熟练、能力提升.大部分同学都是先用正弦定理进行尝试，在解题过程中发现无法一步到位解决问题，就放弃应用正弦定理，而思考其余解题思路.

思路一（几何法）

过C点作AB的高CD，则CD=2003，AD=200，BD=AB-AD=100，所以BC=CD2+BD2=（2003）2+1002=130000≈360.6（m）.

第一种解法，是将一般的三角形转化为特殊的直角三角形，是学生初中时常用的解题思路，学生大部分采用几何法，熟门熟路.

思路二（向量法）

如图，设CB=a，CA=b，AB=c，b=400，c=300，A=60°.

由三角形法则有a=b+c.

|a|2=a•；a

=b+c•；b+c

=b•；b+c•；c+2b•；c

=b2+c2+2bccos（180°-A）

=160000+90000+2×400×300×（-12）

=130000.

所以BC=130000≈360.6（m）.

第二种解法，是利用向量从形的角度构造向量等式，再将向量等式数量化.向量是必修4刚学的知识，在应用向量解决三角形的实际应用中学生也应用自如.

思路三（坐标法）

以AB所在直线建x轴，A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（300，0），C（200，2003）.所以

BC=（300-200）2+（0-2003）2=10013≈360.6（m）.

第三种解法，是在建立适当的直角坐标系的条件下，利用两点间的距离公式，从而将问题解决.解析法的解题思路是个别学生想到了，因为提议一题多解，对于常规思路避开后，部分学生积极思考，合作探究出思路.

出乎我意料之外的是有名学生举手，他应用的是正弦定理，解题过程比较烦琐. 思路四（正弦定理）

∵BCsinA=ABsinC=ACsinB.

即BCsin60°=300sinC=400sin（120°-C）（大部分学生不用正弦定理是在解决这步的时候没有将B角转化为120°-C，而不能继续往下解题），

∴30032cosC+12sinC=400sinC.

∴332cosC=52sinC.

∴tanC=335.展开解得sinC=33213 .

所以BC=sin60°×300sinC=10013≈360.6（m）.

教师在此时及时对该生学生加以表扬，肯定他解决问题的成效，让学生体会到学习的成功和乐趣并产生浓厚的兴趣，这是推动学生自主学习的一种有效的内驱力，是影响学生学习活动效率的一个重要因素.

学生在原先解决实际问题的基础上，轻车熟路的将特殊结论推广至一般结论，并证明之.遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一，在情境问题解决思路的基础上类比出一般三角形已知两边一夹角的问题，学生很自然地发现“余弦定理”，证明“余弦定理”.发现余弦定理的来龙去脉的亲身经历，对于证明的多种思路自然深深地刻在学生的脑海里，让学生知其然更知其所以然，培养了学生掌握正确的学习方法，掌握余弦定理的多种证明方法，理解余弦定理与其他知识的密切联系，应用余弦定理解决其他问题.

再次，给足知识的延伸空间.如过说一节课是一个人体的话，那么这堂课的知识点就是心脏，而这堂课的练习则是肝脏.巧妙设计练习题，较好地促进数学教学，取得较好的教学效果.找准练习的切入点新授课时，通过设计一些练习题来进行新旧知识的联系和过渡，会起到承上启下的过渡作用.笔者在课堂变式题中设计：“在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求B.”让学生自然地发现并推导余弦定理的推论.而课后练习中设计些选作题如：

1.在△ABC中，若三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则A=

________________________________________

.

2.若三角形ABC的三条边长分别为a=2，b=3，c=4，则2bccosA+2cacosB+2abcosC=

________________________________________

.

3.△ABC中，已知sinA∶ sinB∶ sinC=3∶ 4∶ 5，这个三角形是

________________________________________

（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.

4.锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值为

________________________________________

.

5.已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）.

这些选做题，不仅能满足不同层次学生的知识需求，也为下节课余弦定理的应用与拓展提供了足够的发展空间.

总之，本课中教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴.