巧作圆中辅助线灵活求解圆类题

张华

圆的知识在初中数学中占有重要的地位，其解题方法与技巧体现了灵活性、创新性.其中，题型的灵活性大多体现在辅助线的添加方法上.本文通过几个题目介绍圆中常见的辅助线的添加方法.

1.垂径定理中，连半径构造直角三角形

垂径定理内容是，在圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.定理的内容反映圆中直径（或半径）、弦长、弦心距间的关系，在解决相关问题时常要连接弦的端点与圆心并作出弦心距构造直角三角形，借助解直角三角形的知识来解决问题.

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点评 利用垂径定理解题最常见的做法是构造直角三角形，并结合已知条件找出半径、弦长与弦心距间的关系，“知二求一”.在很多的题目中，还需体现方程的思想，设定未知数求解.

2.有直径，作直径所对圆周角

在圆中直径所对的圆周角是直角；相反，在圆中如果圆周角是直角，则该圆周角所对的弦是直径.在解题时，如果出现直径求角的度数或过程中需要求某角的度数时，常要结合直径构造直角三角形来进行求解.

点评 直径所对的圆周角是直角，在解题时常根据此点要连接

弦长构造直角三角形，借助直角三角形的性质帮助求解问题.在解题时，有时要根据直径所对的圆周角是直角这一性质，连接圆的半径，找出角与角间的关系进行相关的证明或计算.

3.看到圆切线，作出过切点的半径

直线与圆的位置关系中相切最为重要，其重要的性质是切线垂直于过切点的半径.根据此性质可得到线与线的垂直或得到直角三角形.

点评 已知直线是圆的切线，切点与圆心的连线是常作的辅助线，由此可得到线与线的垂直或直角三角形.

4.证明圆的切线，“连半径，证垂直”

在证明直线是圆的切线时，我们经常过直线与圆交点作圆的半径，通过证明半径与直线垂直，来证明直线与圆相切，这也就是我们通常所说的“连半径，证垂直”.

图4 例4 如图4，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，

连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线

AB相交于点G.试判断直线FC与⊙O有何位置关系？

并说明理由.

分析 要证明直线与圆相切，作出圆的半径，

证明半径与直线垂直即可得证.

点评 无论是切线的性质还是切线的判定，作圆的半径是常见的辅助线，由切线的性质可得到线与线的垂直；在判定切线时可以通过证明半径与直线的垂直，得到直线与圆相切.

总之，圆中添加辅助线方法有多种多样，在解题过程中要深刻理解题设，找出已知量与未知量间的关系，巧妙添加辅助线可建立起两者的联系，从而快速、准确找到解题的突破口.