不要想当然

黄雪静

前几日去某校听数学公开课，上课教师讲解了用平移的方法求几块分散图形的面积和，例子是从大家最熟悉的简单图形开始的.如图1，四边形ABCD是一块矩形的草地，AD=a，AB=b，在草地里修了一条矩形的路，EH=2，求左右两块草地的面积和.同学们通过研究，得出最简单的方法是：通过平移，把左右两块草地拼成一个矩形，宽还是b，长变成了（a-2），面积为b（a-2）.接着大家也就很容易的用平移的方法把图2、图3、图4的问题解决了.

图1 图2

图3 图4

问题继续发展，草地中的路由一条成了两条，还是从简单的图形开始，如图5，横向和纵向是两条矩形的路，路的宽度EH=IJ=2，求四块草地的面积和.同学们自然地想到了平移的方法，拼成一个长为（a-2），宽为（b-2）的一个矩形.

图5 图6

老师进行变式训练，把其中一条路变成平行四边形，如图6，平移的方法仍然好使！先把右边的两块向左平移2个单位，再把下面的两块向上平移2个单位，面积是（a-2）（b-2）.

再往下，问题来了！老师把另一条路也变成了平行四边形，如图7，按照思维定式，同学们也就没怎么思考，就用平移的方法解决了，得出面积为（a-2）（b-2），结论是：面积没变！

图7

问题是：能拼成一个矩形吗？您有兴趣的话，可以拼拼试试，拼不成！如果您会使用“几何画板”这个软件，很容易验证这个结论是错误的.

我们用反证法来证明它不能拼成一个长为（a-2），宽为（b-2）的矩形.

假设它能拼成长为（a-2），宽为（b-2）的矩形，那么四块草地的面积和为（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4，也就是说，两条路重合部分的面积应该是4，是个常量.而实际上呢，我们来研究一下.我们把图放大，如图8.

图8

过点P，O作AD的平行线，交EF于点Q和R，易证QP=RO=EH=2，△PMQ≌△ONR，平行四边形MNOP的面积与平行四边形QROP的面积相等，都是4.我们过点P作AB的平行线，交直线JK于点S，交RO于点T，易证PS=IJ=2，那么PT>PS=2，平行四边形QROP的面积=RO·PT=2· 2+ST =4+2·ST>4，这与它是常量4矛盾！从而证明了这种情况是不适用平移的方法的！

老师在平时的教学中，研究问题要严谨，不要想当然.