从“来料加工工厂”学习函数

赵广乐 高旭

摘要：函数概念作为高中数学的基本概念和现代数学的主线，其抽象性令高中学生头痛不已。本文从生活实例出发，深入分析函数的实质，并通过生活实例详述“来料加工工厂”在函数问题解决中的具体应用。以一种生活化的、易于理解的观点诠释函数概念。

关键词：函数；“来料加工工厂”；定义域；解析式；映射

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0160

现实生活中，我们见过各种各样的来料加工工厂，大至国有企业沈阳飞机制造厂，小至路边的各色小吃摊、面包店，乃至我们中学生学习和生活的学校。这些地方的最大共同点是：输入各自需要的“原料”，通过某些特定的加工、生产、培养流程，生产出具备特定要求的“产品”。

其实，函数就可以视为一个“来料加工的工厂”。我们以面包厂为例，生产面包需要一套固定的流程和机器，比如：将面粉和面→将面团发酵→将发酵的面团加入各种辅料(鸡蛋、香肠、椰蓉等)→烘烤→面包出炉。我们将原料面粉视为x，产品面包视为y，则可以编拟出函数y=■。我们用平方运算表示“和面”、用“乘以2”表示“发酵”、用“加1”表示“加入各种辅料”、用“除以x”表示“烘烤”，这样面包出炉了，一个完整的函数也就建立起来。当然，每种运算具体表示什么意义是无关紧要的，重要的是通过这样的固定加工流程，我们将原料加工x成了产品y。

这样理解有什么特别的好处呢？请大家不要急，我们先来看几个例子：

题型一：解析式相关问题

1. 已知f(x)，g(x)求f [g(x)]

例1. 已知f(x)=■，g(x)=■，则f [g(x)]=

这样的题目该怎么解呢？回顾上述关于函数(来料加工工厂)的理解

现实中，会有这样的例子吗？当然有，还以面包厂为例，进了一批货(面粉)，发现是次品，颗粒较大，这个时候，如果硬往机器里塞，很可能导致机器损坏，此时，如果你是老板，你会怎么做呢？难道扔掉？我想，老板会再找一家面粉加工场，把这些次品再加工一下。(图示如下)

注意到，面包厂f(x)=■的加工流程不会变，即f [g(x)]=■=■=■，即本题的正确答案为f [g(x)]=■(x≠0)。(不要忘记定义域哦)

2. 已知f [g(x)]，求f(x)

例2. f(x+1)=x2-3x+2，则f(x)=

请同学们特别注意：虽然加工的原料形式(样子)变了，但工厂是同一个工厂、机器是同一个机器f，即f对原料的加工过程(法则)是不变的。f对原料x+1怎样加工，f对原料x就怎样加工。我们求f(x)的解析式，其实质就是问工厂(机器)f对原料x怎样加工？其实，我们只要知道工厂(机器)f对原料x+1怎样加工即可。那么，怎样才能知道工厂(机器)f对原料x+1怎样加工呢？我们有两种办法可供选择：换元法和配凑法。

解法一(换元法)：令t=x+1，欲知工厂(机器)f对原料x+1怎样加工，只需知晓工厂(机器)f对原料t怎样加工，既然要看对怎样加工，那么我们就不再需要了x，即得x=t-1，将其代入已知式中，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6，f对t这样加工，那么，f对x应该同样加工，即得f(x)=x2-5x+6。

解法二(配凑法)：配凑法的基本思路是，欲知工厂(机器)f对原料x+1怎样加工，那么只需将f(x+1)=x2-3x+2中的全部配成原料x+1即可。可是，怎样配呢？这里需要一些技巧，我们可以倒着想，右边有x2项，即可知晓若以x+1为原料加工，必有(x+1)2，而(x+1)2=x2+2x+1与原式不等，欲等，需要减去5x，再加1，即得f(x+1)=(x+1)2-5x+1；而欲将此式中x的转化为原料x+1，就要出现5(x+1)，此时多减了5，与原式不等，需要再加上5，即得f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+1+5=(x+1)2-5(x+1)+6，至此，已知工厂(机器)f对原料x+1加工方式为：原料的平方减去五倍的原料再加6，则f(x)=x2-5x+6。

分析上述解法，解法一很明显更为简便，原因在于：解法一在换元之后的主要任务是化简，而解法二的配凑却不那么好想。但请同学们注意，解法一并不是万能的，在解法一的解决过程中，除了换元外，还需要用表达(此步骤通常称为反解)，将所有的均换为的表达式，如果用不易或不能表达出，那么换元法是无效的，必须使用配凑法来解决此类问题了。

题型二：定义域相关问题

1. 已知f(x)的定义域，求f [g(x)]的定义域

例3. 已知f(x)的定义域为[2，+∞)，则f(x2-7)的定义域为

注意：定义域指的是字母x的取值范围。即[2，+∞)指的是f(x)中x的取值范围，而问题问f(x2-7)的定义域，问的是f(x2-7)中x的范围。解决此类问题，要注意：函数是来料加工的工厂，那么，我们也可以将f(x)视为工厂中的加工机器，其中的括号()可以视为机器的原料入口。请同学们想一想：对于一台特定的机器而言，其原料入口的大小是否确定？是否会一会儿大，一会儿小？事实上，一台特定机器的原料入口的大小是固定不变的，这就好像我们人类一样，嘴巴作为身体这台有机机器的原料入口，嘴巴的范围是有限的，张得再大也不能整吞一个茄子。这一事实则为我们解决这类题型提供了依据。

f(x)的定义域为[2，+∞)，即f(x)中x的取值范围为[2，+∞)，而x能够放入机器中，说明的x范围应该正好满足加工机器f(x)的入口()的范围，即知加工机器f(x)的入口()的范围为[2，+∞)；x2-7能够放入机器f(x)中，说明，x2-7满足加工机器f(x)的入口()的范围[2，+∞)，即x2-7∈[2，+∞)x2-7≥2x2≥9 x∈(-∞，-3]∪[3，+∞)。

2. 已知f(x)的定义域，求f [g(x)]的定义域

例4. 已知f(x2-2x-3)的定义域为[2，+∞)，则f(x)的定义域为

解析：欲求f(x)的定义域，即f(x)求中x的取值范围，需要先求出f(x)加工机器的入口()的范围；欲求加工机器f(x)的入口()的范围，需要先求出f(x2-2x-3)中x2-2x-3的范围，由已知的f(x2-2x-3)定义域为[2，+∞)，即x2-2x-3中的x∈[2，+∞)，而二次函数g(x)=x2-2x-3开口向上，对称轴为x=1，可知g(x)在[2，+∞)递增，即g(x)=x2-2x-3∈[g(2)，+∞)=[-3，+∞)也即加工机器f(x)的入口()的范围为[-3，+∞)，即f(x)的定义域为[-3，+∞)。

例5. f(x+■)=x2+■，则f(x-1)=

解析：由题型一可知，欲求f(x-1)，需先求f(x)，即需先求f(x+■)。

由配凑法，可知f(x+■)=(x2+■+2)-2=(x+■)2-2，令t=x+■

f(t)=t2-2 f(x)=x2-2 f(x-1)= x2-2x-1。

事实上，上述解法并不完善。

请注意函数(亦有老师将之称为对勾函数)图象(极为重要)：

由图象可知，t=x+■∈(-∞，-2]∪[2，+∞) f(x)=x2-2(x∈(-∞，-2]∪[2，+∞))，即 f(x-1)=x2-2x-1(x∈(-∞，-1]∪[3，+∞))。(注：换元法应特别留意新元的范围)

事实上，函数(来料加工工厂)问题首先就应该看函数的定义域。函数问题，先看定义域，能使我们不会的问题迎刃而解，能使我们会的问题确保正确，所以，请千万不要忽视定义域。

题型三：分段函数相关问题

函数可以视为一个“来料加工的工厂”，而分段函数则可以视为一个大型的综合性加工工厂。以分段函数f(x)x3x≥1x2-1＜x＜1-xx≤-1为例，将其视为首都钢铁公司这样的大型企业，若 x≥1表示原料铁矿石的含铁量较高，此时，该铁矿石适宜用来产钢，其具体加工过程为x3；若-1＜x＜1表示原料铁矿石含铁量适中，适宜产铁，则产铁的具体加工过程为x2 ；若x≤-1表示原料铁矿石含铁量极低，此时该原料不适宜用于生产，需要废弃，则其过程可表示为-x。各段函数是“分工不分家”，它们是同一函数。这样理解，对于以下的习题，我们即可迎刃而解。

例6. 已知f(x)=2ex-1x＜2log3(x2-1) x≥2，则f [ f(2)]=

解：先分析内部的f(2)，因2≥2，则该原料应采取加工方式log3(x2-1)，f(2)=log3(22-1)=1，即f [ f(2)]=f(1)，而1＜2，对该原料应采取加工方式2ex-1，即得知f(1)=2e1-1=2，综上所述，f [ f(2)]=f(1)=2。

例7. 已知f(x)=log2(x+1)x≥02x-1x＜0，f(x0)＞2则x0的取值范围是

解析：x≥0时，f(x)=log2(x+1)单调递增，f(x)∈[0，+∞)；x＜0时，f(x)=2x-1单调递增，f(x)∈(-1，0)，f(x0)＞2知f(x0)=log2(x0+1)＞2=log24x0+1＞4x0∈(3，+∞)

函数的本质是映射，它反映了事物之间的相关性与因果关系

概念：集合A到集合B的对应一对多多对多多对一一对一

例8. y=f(x)与x=a的交点个数可能是()

A. 1个B. 0个

C. 0个或1个D. 无法确定

解析：由函数是一对一或多对一的映射，可知，一个自变量最多对应一个函数值，即 y=f(x)与x=a的交点个数至多只能有一个，又由于定义域的限制，y=f(x)的定义域中可能包含a，亦可能不包含a，故正确选项为C。

例9. 在数轴上，区间(0，1)上的点和区间(1，+∞)上的点，哪个多？

解析：由函数 y=f(x)=■(x∈(0，1))，即建立了从(0，1)到(1，+∞)的一一对应关系，即两个区间上的点一样多。