微积分在实际生活中的应用

周芷凡

【摘要】微积分不仅是一个数学概念，其实也是一种数学思想，微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”.微积分在创立之初就在数学、物理学、经济学和天文学等方面发挥了非常重要的作用，反过来，又是在这些应用中得以发展的.本文将从微积分在物理学和经济学中的作用谈起，试图探讨微积分在生活中的无论大的方面还是小的方面的应用.

【关键词】微积分；物理学；经济学；实际生活；应用

一、前言

微积分是高等数学中的一门重要学科，是对微分学和积分学的总称.微积分是运用无穷大和无穷小等极限过程来分析和处理计算问题的数学概念，所以也有人将之称为分析学.

微积分不仅是一个数学概念，其实也是一种数学思想，微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”.微分学包括极限理论、导数、微分等主要内容，积分学包括定积分、不定积分等内容.通俗的来说，微积分主要就是研究一些不过则变量的，小到不规则建筑零件的体积的计算，大到对经济受益弹性的计算等等.微积分在创立之初就在数学、物理学、经济学和天文学等方面发挥了非常重要的作用.

二、微积分在物理中的应用

微积分在实际生活中的应用往往是通过在对一些使用科学中的应用来体现的.其中微积分在物理学中的应用就非常之普遍，下面就从两个简单的有关力学和电学的问题来看微积分在物理中的普遍应用.

例1若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为s=3t+2t2，试求其t时刻的速度的表达式.（所有物理量都用国际制单位，以下同）

分析我们知道，公式v=Δs[]Δt一般是求Δt时间内的平均速度，当Δt取很小很小，才可近似处理成瞬时速度.

s（t）=3t+2t2s（t+Δt）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2.

Δs=s（t+Δt）-s（t）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2-3t-2t2=3Δt+4tΔt+2Δt2.

v=Δs[]Δt=3Δt+4tΔt+2Δt2[]Δt=3+4t+2Δt.

当Δt取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度.

例2电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况.某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）.试讨论：放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？

分析在Δt的时间内，通过电阻R的电量为Δq.虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间Δt内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有Δq=iΔt.对电容有Q=CU=CiR，ΔQ=CRΔi；由电量守恒，ΔQ=-Δq，故-iΔt=CRΔi，然后把“Δ”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有-idt=CRdi（dt和di称之为微分），数学变形为i=-CRdi[]dt，接着再按照袋鼠方法就可以计算了.

三、微积分在经济上的应用

微积分不仅在物理中运用非常普遍，在经济学中也是一样.微积分在经济学中的应用主要体现在函数关系上，下面依然用两个问题进行简单论述.

例1设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x）=100x-x2，总成本函数为C（x）=200+50x+x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？

分析设每件商品征收的货物税为a，利润为L（x）.

L（x）=R（x）-C（x）-ax

=100x-x2-（200+50x+x2）-ax

=-2x2+（50-a）x-200.