浅谈一元二次方程根的分布中的所体现的函数与方程思想

姜彬

一元二次方程一直是高考中必考的内容，然而对于有些同学来说一元二次方程一直困扰着.为此本文对该问题作了详细的解析，以助同学们参考.

一元二次方程（形如：ax2+bx+c=0（a≠0））的根的情况与判别式Δ=b2-4ac有关：当Δ>0时，此方程有两个不等实根；当Δ=0时，此方程有两个相等实根；当Δ<0时，此方程无实根.

首先，在我们初中阶段有韦达定理可以帮助我们同学解决关于一元二次方程的问题，在此先做一些说明.

类型1（可借助于韦达定理）

韦达定理：若关于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）存在两个实数根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1·x2=ca.

例1已知关于x的一元二次方程x2+3ax+2a2+1=0的两个实数根均为正，求实数a的取值范围.

分析本题可借助韦达定理来叙述两个根的和与积的关系，再判断正负，但是要注意判别式.

解设方程的两个根分别为x1，x2.

由韦达定理可知x1+x2=-3a，x1·x2=2a2+1.

由题意可知：Δ≥0，x1+x2>0，x1·x2>0，

即（3a）2-4（2a2+1）≥0，-3a>0，2a2+1>0，解得：a≤-2

综上所述：实数a的取值范围为a≤-2.

小结利用韦达定理解一元二次方程的问题时一定要注意考虑判别式Δ，否则会出现范围扩大，若本题不考虑Δ则实数a的范围是a<0，范围就被放大了.

例2已知关于x的一元二次方程x2-10x+a=0的两个根都大于3，求实数a的取值范围.

错解设方程的两个根分别为x1，x2.

由韦达定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由题可知：Δ≥0，x1+x2>6，x1·x2>9， 即（-10）2-4a≥0，10>6，a>9， 解得：9

综上所述：实数a的取值范围为9

错解分析满足以上的解不一定能满足都大于3（如：当a=16时两根为2和8，此时就符合错解的不等式组，但不符合题意）.

正解设方程的两个根分别为x1，x2.

由韦达定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由题可知：Δ≥0，（x1-3）+（x2-3）>0，（x1-3）·（x2-3）>0，即（-10）2-4a≥0，10-6>0，a-3×10+9>0，

解得：21

综上所述：实数a的取值范围为21

小结此种方法适用于一元二次方程的两个根都要明确于同一个值的大小关系（即（1）两个根都大于m；（2）两个根都小于m；（3）一根大于m一根小于m）.此法容易范下两个错误类型：（1）忽略判别式Δ，利用韦达定理时一定要注意判别式Δ；（2）直接考虑x1， x2与3之间的关系即x1+x2>6x1·x2>9，这样考虑问题会扩大求解范围.所以在利用韦达定理求解一元二次方程的时候一定要优先考虑判别式Δ，而且遇到非0根且与同一个值比较时，一定要将两个根x1与x2都要减去此根后再进行加或乘.

例3已知关于x的一元二次方程x2-3ax+2a2-1=0的两个根中一根大于2，一根小于2，求实数a的取值范围.

解设方程的两个根分别为x1，x2.

由韦达定理可知x1+x2=3a，x1·x2=2a2-1.

由题可知：Δ>0，（x1-2）+（x2-2）∈R，（x1-2）·（x2-2）<0，

（-3a）2-4（2a2-1）>0，3a-4∈R，2a2-1-2（3a）+4<0，

解得：3-32

综上所述：实数a的取值范围为3-32

小结若出现两个根在同一个值的两侧，则（x1-2）+（x2-2）∈R，对于这个式子就可以不考虑了.