在联想中提高解题能力

唐泽生

联想是一种思维活动，其特点是从某一事物想到与之有一定联系的另一事物.解数学题的联想应是根据题意想到相关的公式、定理、性质及例题，从而使问题得到顺利的解决.在联想中提高解题能力重点在于点拨，启发学生联想到所学过的知识点与数学思想和数学方法，使学生学有收获.在教学中，我设计了下面一道题，让学生思考：

1.已知a41+a42+…+a4n=1，b41+b42+…+b4n=1.

求证：a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤1.

2.已知a，b，c∈R+，求证：

①a6+2b6+3c6≥6ab2c3；

②5a7+2b7≥7a5b2.

要求：（1）据题意，你联想到什么知识点，做后有何感悟？

（2）能否推广？若能，写出推广的式子.

分析第一题，由题目的结构联想到知识点ab≤a2+b22a2b2≤a4+b42也成立，则a21b21≤a41+b412，a22b22≤a42+b422，∴a2nb2n≤a4n+b4n2 a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤a41+a42+…+a4n+b41+b42+…+b4n2=1.

推广若an1+an2+…+ann=1，bn1+bn2+…+bnn=1，且a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R+，则有（a1b1）n2+（a2b2）n2+…+（anbn）n2≤1.

分析第二题，①②都要这样的特点，左边各项系数之和与右边项系数相等，联想到知识点，设a1，a2，…，an∈R+，则a1+a2+…+an≥nna1an…an.因此，可作下列的变式：a6+2b6+3c6=a6+b6+b6+c6+c6+c6≥66a6b12c18=6ab2c3，故a6+2b6+3c6≥6ab2c3.同理可证，5a7+2b7≥7a5b2.

推广1在a1+a2+…+an≥nna1a2…an中，若令a1+a2+…+ap1=an，ap1+1+ap1+2+…+ap1+p2=bn，ap1+p2+1+ap1+p2+2+…+ap1+p2+p3=cn，其中p1+p2+p3=n，则有p1an+p2bn+p3cn=（an+an+…+an）p1个+bn+bn+…+bnp2个+cn+cn+…+cnp3个≥p1+p2+p3p1+p2+p3anp1·bnp2·cnp3=nap1bp2cp3，等号成立a=b=c.

推广2设a，b∈R+，m，n∈N*且m

应用上面的两个推广，还可以证明下列两个较难的不等式.

已知a，b，c∈R+，n∈N*，求证：

（1）a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2；

（2）ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.

分析（1）根据p1an+p2bn+p3cn≥nap1bp2cp3，可得

a6+2b6+3c6≥6ab2c3

2a6+3b6+c6≥6a2b3c

3a6+b6+2c6≥6a3bc2

6（a6+b6+c6）≥6（ab2c3+a2b3c+a3bc2）

a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2.

分析（2）求证不等式可转化为

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

1+1n+1n+1>1+1nn.（3）

故要证（2），只f需证（3）即可.

∵1+1n+1≠1+1n，可令a=1+1n+1，b=1+1n.

又由man+（n-m）bn≥nambn-m，令m=1，可得

an+（n-1）bn≥nabn-1an+1+nbn+1≥（n+1）abn.

1+1n+1n+1+n1+1nn+1≥

（n+1）1+1n+11+1nn

1+1n+1n+1+n1+1n1+1nn>

（n+2）1+1nn

1+1n+1n+1>1+1nn

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.