关于数形结合思想方法的教学研究

卢聪

【摘要】数形结合是高中数学中重要的思想方法，它是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的方法，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它融合了数的严谨性与形的直观性，从而达到优化解题过程的目的.本文通过一些典型问题的研究，抛砖引玉，与读者朋友共同探讨与提高.

【关键词】数形结合；模型

一、思想方法解读与问题引入

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何问题）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考和解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学问题的解答过程中具有独特的策略指导作用.数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的几何特性和规律，解决数学问题；或将图形信息全部转换成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.

图1思考已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1）.当2

解析f（x）=logax+x-b的零点即为g（x）=logax与h（x）=x-b交点的

横坐标.如图1，观察图像得n=2.

∵f（1）=1-b<0，

f（2）=loga2+2-b<1+2-3=0，

f（3）=loga3+3-b>1+3-4=0，

由零点定理知x0在区间（2，3）内，故n=2.

二、问题研究

1.数形结合解决零点问题

问题一已知函数f（x）=-x2+2ex+t-1，g（x）=x+e2[]x，（x>0，其中e表示自然对数的底数）.（1）若g（x）=m有零点，求m的取值范围；（2）确定t的取值范围，使得g（x）-f（x）有两个相异实根.

解析（1）∵g（x）=x+e2[]x≥2e2=2e，（x=e时，等号成立），故g（x）值域为[2e，+∞），因而只需m>2e，则g（x）=m有零点.（2）g（x）-f（x）=0有两个相异实根

函数g（x）与f（x）的图像有两个不同

的交点.作出g（x）的图像，配方：