调和级数敛散性的几种证法

曹西林

【摘要】级数是进行数值计算的重要工具.调和级数就是一种重要的级数，在考察正项级数的敛散性时，我们常将调和级数作为被比较的对象，判断所求正项级数的敛散性.笔者从事高职高等数学教学多年，总结出适合高职高专学生掌握和应用的几种简单证法.

【关键词】调和级数；部分和；收敛；发散

项目名称：职业院校高等数学课程改革的质量标准与评价研究，项目编号：（XTZY14J14）

调和级数∑∞n=11n的发散性最早是由法国学者尼古拉·奥雷姆给出了证明.后来，大数学家约翰·伯努利也作出了经典的证明.而今，随着级数理论的不断完善，调和级数敛散性的证法有许多种.本文根据高职高专学生的知识储备和理解能力，给出了调和级数发散性的几种证明方法.

一、 几何证法

调和级数∑∞n=11n的部分和Sn=1+12+13+…+1n，作函数y=1x的图像，构造n个矩形（如下图）.

由图可知，Sn就是n个小矩形的面积之和，且面积之和大于所围成的曲边梯形的面积S曲，由定积分的几何意义可得：

Sn>S曲=∫n+111xdx=lnxn+11=ln（n+1）.

因为当n→∞时，ln（1+n）→∞，所以limn→∞Sn=∞.所以，调和级数∑∞n=11n是发散的.

二、 反证法

假设调和级数∑∞n=11n收敛，且 limn→∞Sn=s.

显然有limn→∞S2n=s，limn→∞（S2n-Sn）=s-s=0.

而S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+…+12n=12.

故与 limn→∞（S2n-Sn）=12≠0矛盾.

所以调和级数∑∞n=11n发散.

三、比较判别法

1.利用不等式x>ln（1+x）

由上不等式可知，∑∞n=11n=1+12+…+1n+…的各项均大于下面级数的对应项.

ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n+…（1）

而（1）式的部分和为：

Sn=ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n=ln2+ln32+…+lnn+1n=ln2×32×…×n+1n=ln（n+1）.

因为 limn→∞Sn=limn→∞ln（n+1）→+∞，

故调和级数∑∞n=11n发散.

2.利用放缩的方法