论微积分思想在中学教学的可行性

李玉龙

【摘要】绚丽的微积分思想已经是当代数学的基石.但是在传统的教学中，只有在大学的数学教学中才真正系统地学习微积分的思想精髓.与此同时，在中学的数学教学中力图避免微积分的复杂讨论，中学代数和几何更加突出直观、公理化.然而解析几何与微积分之间关系是密不可分的，不论在本科教学中还是在中学教学中都不应该孤立地看待.

【关键词】微积分；平面几何；面积；平行线

本文主要结合中学数学平面几何的教学和本科的微积分教学，力图阐释微积分思想在中学数学教学中的可行性.

一、中学教材几何教学中避而不谈的“盲点”

中学数学教学和大学数学教学固然不一样，为了适应中学生的学习，往往带有直观、形象地教学.但从而也出现了一些“显然”的盲点.分述如下：

（1）在初中数学教材中，以无限不循环小数的形式定义无理数，从而将数系扩充为实数.但是实数是什么？扩充后的完备性意义在哪里？没有说明，而且没有直观的解释.再者，中学教材只是引进实数概念，除此之外再没有研究数系的任何性质，俨然有严重“短缺”.

（2）中学数学中有两个支撑整个中学几何的基本概念：面积和对应边成比例.让我们看一下：

①面积作为不加定义的概念无疑是非常自然方便的，也符合数学的本质.比如，我们把边长为单位1的正方形A所围成的“东西”叫作面积，量记为“1”.这样的话任何一个边长为有理数p/q的正方形B都可以跟A比较.因为A里可以形象地看成由q2个边长为1/q的小正方形C组成的，而B是由p2个C组成的，因此B的面积通过比较应该是A的（p/q）2倍.但是，这种看法不能直接适用无理数，如果边长是无理数呢？那将无法通过有限个分割来比较！但是中学的整个数学教学过程中仍然不加解释地把边长为任意实数t的正方形面积定义为t2正确的理解应该用有理数的逼近，也正是微分，见下面第三点.

②对应边成比例，也是非常自然直观的定义，完整叙述为：任意两条直线l1，l2与三条平行线相交，分别对应被截得长度为l11，l21与l12，l22，则有：l11∶l21=l12∶l22.原因是很显然的，当l11，l21，l12，l22皆为有理数时，两直线可以看作被一组等距的虚拟的加细的平行线平均分割成相同的份数，对应的份数之比当然相同.然而，如果l11，l21，l12，l22不全为有理数呢？那将无法自然地把对应边成比例看成显然的定义，因为不能加细分割成有限份！但整个中学教学中显然把实数都纳入定义内！（正确的思想方法也应是有理数的逼近，即微分）

③中学数学中混淆着两种语言.考虑单位圆周，我们自然地把圆周平均分成360份，每一份叫一度.若角α对应扇形的面积为A，则中学数学里自然地认为任何角xα对应扇形的面积为A的x倍，这在平面图形上看几乎是显然的.注意这是几何层面的语言，我们自然地认为面积随角度的增加“均匀”地递增.但是我们还有一种“熟悉”的代数方式表示：S=∫x01-x2dx，然而这个时候，对应的面积是关于x的函数，任给一个x值，都对应一个面积值，因此面积随x增加的速度（也即是关于x的导数）是客观存在的，不以人的意志转移，那么，这时候也许有学生问，事实上表达式代表的面积也是随着x的增加而均匀增加的吗？也就是它是否和我们先天假设的几何直观运动变化一致？从而我们可以把几何图形就等价地看成这个表达式从而加以研究.中学中我们对此本质混淆的概念也“闭口不谈”.（事实上这可以用积分的思想来完美地解释）

二、大学微积分思想的“滞后性”

虽然微积分是大学数学的入门与基础，也是非常重要的思想，但直到大学阶段才系统教授微积分，未免姗姗来迟.这可以通过以下说明：①通过上述分析中学阶段遇到了实质上微积分的很多实质性的问题，足以有理由在中学阶段就需渗透微积分的知识.②大学教授微积分的出发点也是从最基本的实数的理论出发，实数的完备性和中学阶段讲授的实数思想出发点完全一样，所以无须非得等到完全度过中学阶段才真正开始讲授，从这个意义上讲未免迟了点.③如果在中学阶段的教学中适当渗透微积分的知识，不仅能解决中学阶段遇到的问题，而且对大学的数学教学有着促进作用.事实上，上面一中遇到的问题，在中学阶段是可以很好地解决的，下面会论证这至少在一定程度上是可行的.

三、方法解决的可行性

中学中遇到的上述问题是可以用微积分的思想很好地解决的.从有理数过渡到实数可以用逼近的方法，完全可以被中学生的思维接受，从而给中学教学提供了可行性.现在给出命题的论证，分述如下：

①任何边长为实数a的正方形A的面积为S=a2.