职高数学教学中开展研究性学习的探索与实践

丁德东

【摘要】普遍意义上的研究性学习是指学生通过与研究相类似的认知方式和心理过程来了解、接受、理解、记忆和应用人类已有文明以及国家或学校的举办者所规定的内容的认知活动.职高数学教学中开展研究性学习，在目标定位后，其途径通常有：通过对教材“再创造”来开展研究性学习，通过数学开放题来开展研究性学习，通过社会实践来开展研究性学习，通过改革课后作业来开展研究性学习，应用现代教育技术来开展研究性学习.

【关键词】研究性学习；学习方式；数学教学

一、对研究性学习的认识

顾名思义，“研究”即“钻研”“探究”，在科学、技术领域，研究主要有两个层次：一是以创建或产生人类文明史上新的知识或技术为目的，提出假设、设计方案，并进行论证和实验；二是以验证和修正已有的知识或技术、验证已有的假设取得的设计方案并进行论证和实验.“研究性”，就是与研究的上述情况相类似或具有研究的部分特性.

“学习”，《辞海》里解释为“求得知识技能”.它是“学”与“习”的组合词，学生的学习是在教师的指导下，在特定的环境中，以特定的组织方式，了解、理解和接受特定的未知对象（即国家或学校的举办者所规定的内容，是人类社会已经创建和产生的知识和技术），重复和应用特定的已知对象.

“研究性学习”从语法学上分析，是一个偏正短语，“学习”是“正”，“研究性”是“偏”，是限制、修饰“学习”的，因此，普遍意义上的研究性学习是指学生通过与研究相类似的认知方式和心理过程来了解、接受、理解、记忆和应用人类已有文明以及国家或学校的举办者所规定的内容的认知活动.具体地说，当学生通过自己收集事实依据和应用所学过的知识来接受新知识时，当学生从自己的角度来表达和阐释各自对所学知识的理解时，当学生运用各自所掌握的知识来验证或批判、修正已有知识时，当学生运用各自独特的方式来组织所学的知识时，都蕴含着研究性学习的特性.因此，对研究性学习，我们可以理解为把它作为一门课程，即指学生在教师指导下，从自身生活和社会生活中选择和确定研究专题，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动；也可以理解为把它作为一种学习方式，一种教育理念或策略，结合学科教学，从现有的教学内容和教学要求出发，选择适当的切入口，引导学生开展研究.

二、研究性学习在职高数学教学的定位

职高数学研究性学习的要求是面向全体职高学生，而不是只为少数优秀学生而开设.它以激发学生主动探索的积极性，培养学生的创新精神为追求目标，要求学生的研究结果有科学性，但并不强求每名学生的最后研究成果都必须独一无二.数学的研究性学习首先要立足于课堂和教材，同时要努力创设更好的环境和条件，让学生体验生活，动手实验，勇于探索，合作参与，使他们成为研究者和实践者.

三、职高数学教学中开展研究性学习的途径

职高数学教学中，开展研究性学习的主要途径有：

1.通过对教材“再创造”来开展研究性学习

数学素质教育的主阵地仍是课堂，因此，立足于课堂，深入挖掘教材是研究性学习的基础.但是也应当看到，学校教育的重要目标具有二重性，一方面，每一名学生都应该吸收.继承人类经过漫长时间积累起来的文化中的精华，接受作为人类文化遗产的基本知识；另一方面，又要在接受前人经验的同时，继续思考研究，开拓创新，站在巨人的肩膀上，看得更远，走得更快.在数学教学中，如果都按照数学家的最初发现，创造知识的过程来教学生，则需要漫长的时间，显然是不符合实际.但心理学研究表明，在数学课堂教学中若教师对教材进行“再创造”，可以把教学时间大大缩短.为了在“再创造”的数学教学中提升研究成分，我们应当把握好以下三个环节：（1）揭示知识背景，从数学家的废纸篓里寻找研究的痕迹，让学生看到并体验，面对一个新问题他们是如何去研究、创造的.（2）创设问题情境，给学生一个形象生动、内容丰厚的对象，使学生深入其境，真正作为一个主体去从事研究.（3）暴露思维过程，不仅要给成功的范例，还应展示失败和挫折，让学生了解探索的艰辛和反复，体验研究的氛围和真谛.

案例1在教学“棱锥体积”时，先让学生做一个实验——取一个空三棱锥，并取一个和它同底等高的空三棱柱，在空三棱锥里装满细沙，然后倒入空三棱柱里，连倒三次，正好装满三棱柱.实验完毕，让学生猜想：同底等高的三棱锥与三棱柱体积有怎样的关系？

在此基础上，学生很快就猜出棱锥体积V=1[]3Sh，其中S，h分别是棱锥的底面积与高.

由此导入三棱锥的体积公式，接着进一步用分割与补体的思想方法加以证明.

以上例子表明，思维真实是一个很自然的过程.问题是教师不要总是包揽、承担学生思考权利，学生自己可以做的事就应该放手让他们去试、去研究.这样学到的不仅是知识，而且是研究问题的能力.

在数学教学中，往往一个很细小的数学问题就隐藏着值得研究的课题，甚至会有价值的发现.因此，教师要善于抓住问题，从一个片段、一个思考题、一个注释、一个答案、一个疑问等细微之处让学生去研究、去发现.

2.通过开放题来开展研究性学习

数学开放题具有促使学生掌握科学的思维方式，以及形成优良的思维品质和正确的数学观，提高数学表达能力等多种教育功能，由于在开放题的教学中，学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现，因此，学生不再是“装”数学，而是“搞”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程（尽管两者完全不同），深切领会数学的实质，因此，数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的.

开放题的教学主要从两个方面进行：一是改造课本的封闭的例、习题为开放性问题，二是结合数学教学内容设计新的开放性问题.

案例2在数学“均值不等式”的应用时，笔者设计了“罐头筒设计”的开放题教学.

首先，老师提出问题：同学们，今天请大家帮助设计一个容积为一定圆柱形状的罐头筒，你认为如何设计比较合理？然后将全班分组，确定组长，让各组同学自由讨论畅想，接下来由组长将各组讨论情况在全班展示，最后教师归纳整理，得到：

设想1：从“经济”的角度出发考虑，使得制作罐头筒的材料最省，也就是使圆柱体的表面积最小，设图1圆柱体的底半径为r，高为h，容积为V，如图1，则

S表面积=2πr2+2πrh.

因为V=2πr2h，

所以S=2πr2+2V[]r=2πr2+V[]r+V[]r≥33[]2πV2.

当2πr2=V[]r，即V=2πr3，此时h=V[]S=2πr3[]πr2=2r.

故当罐头筒的底半径r和高h符合h=2r时，表面积最小，设计比较合理.

设想2：制作罐头筒的材料最省，是使得制作罐头筒的材料的总重量最小，假设底半径为r，高为h，容积为v，又设材料的比重为ρ，侧面材料的厚度为b，因上底面要用手拉，下底面重量压力大，故必须图2考虑上、下底部的材料应厚一些，假设它的厚度是侧面厚度的2倍，如图2，则用料为：

A=2πrhbρ+2πr22bρ=2πbρ2r2+V[]2πr+V[]2πr

≥2πbρ33[]2r2·V[]2πr·V[]2πr=6πbρ3[]V2[]2π .

当2r2=V[]2πr，即r=1[]4·V[]πr=1[]4h时等号成立，A取得最小值，这样，r与h之比

是1∶4，用料最少.

设想3：从劳动力的“经济”来考虑问题，如果罐头的焊缝最短，则花的劳动力最小，设计比较合理.设罐头筒的底半径为r，高为h，容积为v，则焊缝的长

L=2（2πr ）+h=4πr+V[]πr=2πr+2πr+V[]πr≥33[]4πV

当且仅当2πr=V[]πr，即h=2πr·πr2[]πr=2πr时，焊缝最短，劳动力最经济.

图3设想4：从美学角度出发思考，把“黄金分割”用于设计罐头筒，使人看起来比较美观，设圆柱体的底面积半径为r，高为h，考虑它的轴截面是黄金矩形，如图3.

设E是AB的黄金分割点，EB=2r，AE=h-2r，则

（2r）2=（h-2r）h，即4·r2[]h=1-r[]h，

解这个关于r[]h的一元二次方程得r[]h=5-1[]4.

所以r，h满足r[]h=5-1[]4时，罐头筒较美，自然是合理的一种设计.

设想5：对小孩来说，设计罐头筒，底半径应小一点，因为小孩的手相对小一些，而对大人，手相对大一点，罐头筒的底半径应大一些，那么，应选择怎样的尺寸使得大人、小孩捏起来都比较舒服？

对设想5，当学生请教老师如何解决时，教师承认自己也解决不了，于是师生讨论决定，先到市场上做一下调查，或请教设计罐筒头的专家，并就上面的各种设想进行比较，哪一种设计比较实用，再定一个时间继续研究.

研究性学习的开展需要有合适的载体，而数学开放题作为研究性学习的载体，满足了学生求知欲望，充分调动了学生学习数学的积极性，使学生创造潜能得到了极大的发挥.实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的.

3.通过社会实践来开展研究性学习

在数学研究性学习中，社会实践是重要的获取信息和研究素材的渠道.在新的教学大纲中，对通过社会实践来开展研究性学习都提出了明确的要求，比如在必修课和选修课中设置了实习作业和研究性课题，教师要根据大纲的要求，认真组织，积极引导.例如，“研究性课题：分期付款中的有关计算”＼[高一（上）数学新教材（试验修订本）P133＼]，我们是这样组织教学的：

（1）社会调查：将全班同学分成若干个小组，到商品房售房处、银行、保险公司、汽车城等走访询问，现场考察，并索取商家资料，通过调查，同学们获得了大量分期付款的信息资料，如“调查购房”小组获得了购房的各种办法，付款的多种方式等等.

（2）课堂探究：由每组选出一名同学（组长），在班上介绍调查基本情况，并举一个分期付款的实例进行分析，从数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果、有待进一步探究的问题等几方面进行阐述.

（3）撰写研究报告.

从社会实践到数学课堂，他们通过对社会生活中“分期付款的有关计算”的探究，其深度和广度超出了教材的范围，学到了课堂中所学不到的知识；他们深入社会，学习与人交往，培养了社交能力；他们要了解情况，学习收集信息，也培养了处理信息的能力.

通过社会实践来开展研究性学习，除了教材中规定的实践作业和研究性课题外，教师还要特别重视引导学生关注身边的数学，用数学的眼光来审视客观世界中丰富多彩的现象，并选取专题进行研究性学习，使他们深切感受数学在日常生活及社会各个领域中的广泛应用.

4.通过改革课后作业来开展研究性学习

课后作业是教学的一个重要环节，应不断优化和改造，其中对传统作业中重基础抓落实等的好传统和好经验必须继续坚持和发扬，同时还要通过作业环节来培养学生的创新意识和创新能力.笔者认为，在课后作业的环节中开展研究性学习就是一个好的方法，那么怎样在课后作业的环节中来开展研究性学习？

（1）增加“提出一个新的问题”的作业

鼓励学生针对当天数学课的内容提出一个新的问题，它可以是学生发现的新问题、新解法和新结论，也可以是提出疑问并陈述自己的观点等等.这样做至少有两点好处：（1）有利于培养学生养成勤于思考、善于总结的良好习惯；（2）有利于培养学生的创新意识和能力.它给学生提供了发表新观点，探索新方法，发现新问题的良好机会.

（2）增加“调查式作业”