三角函数教学中如何突显数学思想

刘芷含

【摘要】数学思想方法的教学是数学教学的灵魂，也是数学教学的难点，教师应根据新课程标准的要求提炼出数学思想方法，教学过程要以揭示数学思想方法为主线，不同的数学思想方法在不同的阶段有着不同的处理方法.

【关键词】三角函数；思想方法；课堂教学

三角函数的教学一直是高中数学教学的重点，也是体现“双基”的典例，然而教学效果却不尽如人意.究其根源，过去的教学大纲片面强调三角恒等变形技巧的训练，过于强调推理的严谨性和运算的准确性，但缺乏实际背景的支撑，即忽视了三角函数的主干作用，忽视了数学思想方法的研究.现在高中新课程标准明确提出三角函数是描述周期变化的重要数学模型，强调数学建模，强调几何直观，强调知识之间的联系.然而在高中三角函数中涉及的数形结合、数学建模、向量思想、转化与化归等诸多数学思想方法，如何从数学的形式演绎体系中挖掘出来，教学过程中如何处理才能突显其作用？

一、超越形式演绎，挖掘数学思想

数学是由问题驱动的，问题解决的过程包含了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题四个步骤，其中又伴随着逻辑推理和理论抽象.而这些都是受到一系列数学思想方法控制和引导的.由此数学思想方法的主导地位就十分突出了.

张奠宙先生曾指出：“数学的学术形态，是形式化的演绎体系，数学教育的任务是将这种学术形态转换为学生易于接受的教育形态.教育形态的灵魂就是数学思想方法.”数学思想方法能给冰冷的数学注入火热的思考.

二、内隐操作，感悟数学思想

对于三角函数的处理，《国家高中数学课程标准（实验版）》（以下简称《课程标准》）将重心放在强调数学建模和加强几何直观两点上.一方面，《课程标准》突出三角函数的实际背景和应用，即强调三角函数的模型作用；另一方面，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用，即发挥单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识和理解由任意角的三角函数定义延伸出的整个演绎系统.因此，教师要紧扣这两点展开教学.模型思想和数形结合思想在这个阶段的主要教学策略是“让学生探索、构建与掌握数学知识和技能”，隐藏在背后的数学思想方法基本上是由学生在探索、构建与掌握知识中去“感悟”.

1.模型思想

三角函数是刻画周期现象的重要数学模型.学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程.教学过程中可根据学生的生活经验来创设情境.例如，通过单摆、弹簧、圆上一点的运动以及波浪、潮汐、四季变化等实际背景，使学生感受圆周运动的广泛性，认识圆周运动的变化规律，顺势提问：函数是描述事物变化规律的模型，什么样的函数才能反映圆周运动的周期性呢？这样既解决了引入任意角的三角函数的必要性问题，又让学生感悟了模型思想.在研究三角函数性质后，注意运用这一模型刻画和描述实际问题，数学来源于生活，高于生活，模型可用来解决包括原型在内的更加广泛的问题.

2.数形结合思想

从初中阶段学生所认识的锐角到任意角，从锐角三角函数到任意角的三角函数，在知识、方法和思维上都有很大的跨越，教学的重点就是在学生已有认知结构中找到与之有内在联系的“固着点”.首先要让学生理解终边坐标定义，由“取点——求距离——算比值”三个步骤组成.然后引入单位圆，将比值简化为坐标.在对概念的内涵、外延、变形、应用进行讲解时，突出强调三角函数的几何意义，整个概念教学过程中，让学生深刻感悟几何直观的妙用.当然，对单位圆的认识不能一步到位，需在后续的三角函数在各象限内的符号、同角三角函数的关系式、诱导公式等的教学中循环上升，逐步加深在单位圆中研究三角函数的本质内涵的认识和理解，同时提高应用意识.

三、主动运用，积累数学思想

《课程标准》处理三角恒等变换的重点在于让学生体会向量在处理三角函数问题中的工具作用以及向量与三角函数的联系、数与形的联系、三角恒等变换公式之间的内在联系.知识之间的联系这条明线是由数学思想方法这条暗线串联起来的，三角恒等变换的核心内涵就是转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法.数学是“做”出来的，在本阶段的教学中，要突出教师的导向性作用，既要使用显性而明确的语言概括出数学活动背后的数学思想，还要构造一些数学问题进行训练，以增强运用数学思想的意识，并在“做”中不断积累经验.

1.向量思想

两角差的余弦公式是一个基础命题，如果由单位圆的坐标特点进行图形建构和变换来论证，其中的“单位圆”会对理论构建提出“严谨性”的质疑.《课程标准》建议用平面向量的数量积的坐标表示作为论证两角差的余弦公式的基础.这样既突出向量在解决三角函数问题中的工具作用，又解决了几何论证的直观性与数学知识的严谨性的矛盾.教学过程中可将两种方法进行对比，孰优孰劣，一目了然.但要注意课堂时间的控制，一定不要在几何论证上深挖洞.

2.转化与化归思想

三角恒等变换蕴含的公式繁多，每个公式又有不同的形态，这些看似零散的公式可用转化与化归等数学思想方法进行联结，升华成一个有规律的系统的知识链条.在处理三角恒等变换问题时，转化与化归具体体现在寻求已知与未知、条件与结论、新知与旧知的内在联系，化复角为单角，化未知为已知，化“异名”为“同名”，化切、割为弦，化复杂为简单，降维等.其实质都是利用分析与综合建立已知与未知的联系.练习是学好三角恒等变换的必要环节，在学生“做”的过程中明确指出数学思想，让学生边“做”边感悟，“做”后反思感悟.