浅析分式求值中常用的几种方法

张贵平

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0142-02

分式的有关概念和计算是新课程改革后中考的必考内容，由于这一章牵扯的知识点较多，对综合运用知识的能力和计算要求更强，特别是分式求值问题在中考中出现的频率较高，分值较大，方法灵活多样，学生对这部分知识考试中失分现象较严重，怎样提高学生对这部分内容的综合运用能力，灵活准确解答这类题目。通过这几年我连续代初三毕业班及对本章知识在整理复习过程中，我觉得掌握一定的解题技巧，仔细分析题目特征，选择合适的方法是解决的关键。现把分式求值中常见的解题技巧归纳如下：

一、根据运算法则，先化简后代入求值

例：先化简代数式■+■÷■，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值。

分析：本题是考察学生对分式的四则运算能力和分式有意义的条件的掌握，提高学生的计算和解决问题的能力，但是在化简以后代入求值时，部分学生对a的取值没有考虑，这里a不能取0，1，其他都可以，否则分式无意义。

解：■+■÷■=■+■÷■=■

把a=2代入原式得：原式=■=■=2

二 、整体代入法

八年级配套练习中有一道题： 若■+■=■，你能计算■+■的值吗？

分析：此类题型学生看到以后，不知从哪下手。教师引导学生可以试着先将已知条件和所要求值的分式进行变形，然后对照变形后的这两个式子，明确解题思路为把变形后的已知条件直接代入变形后的分式即可进行求值。

解：∵■+■=■∴■=■

ab=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=-ab

而：■+■=■把-ab=a2+b2代入上式中得：原式=■=-1 变式练习：已知■-■=3，求■的值。

分析：本题解法与上题一样，都是先把已知和所求的式子分别变形后再把变形后的已知条件代入即可。

三、 k值法

1.直接设k值法

例：已知■=■=■求■的值。

分析：本题已知条件是以连等式的式子出现时，在看到这样的已知条件时，利用设k值法更为简便，注意本题中由2（a+b+c）=k（a+b+c），求k值时不能直接将方程两边同时除以（a+b+c），否则会漏解。

解：设■=■=■=k则：b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck

∴b+c+c+a+a+b=k（a+b+c），2（a+b+c）=k（a+b+c）

所以：k=2或a+b+c=0而：a+b+c=0，∴b+c=-a

把其代入b+c=ak中∴k=-1原式=■=■

∴当k=-1时，原式=-1；当k=2时，原式■

2.巧选连比后用k值法

x+y+z=0（1）

例： 已知：ax+by+cz=0（2），（a，b，c是互异实数）求：■的值。

分析：本题给出的已知较复杂，但是仔细观察和分析，发现把（1）（2）两式变形消去后可出现连比式，故用k值法较好。

解：把（1）×a-（2）得（a-b）y+（a-c）z=0

∵a≠b，c≠a∴■=■，同理可得■=■

∵yz≠0∴设y=k（c-a），z=k（a-b），x=k（b-c）代入即可求值。

四、利用公式变形求值

例：已知x2-3x+1=0，求x4+■的值。

分析：本题引导学生从结论分析，发现代数式中的两项互为相反数，根据互为相反数的性质以及x+■与X2+■之间的关系要用完全平方公式来连接，熟练地应用变形公式，可给解题带来极大的方便，从而降低了问题的难度。

解：由x2-3x+1=知x≠0，由此得x+■=3

∵x2+■x+■2-2=32-2=7∴x4+■=x2+■2-2=72-2=49

五、主元法

例：已知xyz≠0且3x+2y-7z=0，7x+4y-15z=0，求：■

分析：本题把等式中的某一个未知数如z视为常数，解方程组得出x=z，y=2z再代入所求的式子即可求出值。

六、常值换元法

例：已知ab=1求■+■的值。

分析：本题由于ab=1，所以在求分式的值时通分后把ab用常数1代替，从而使问题得到解决。

解：原式=■+■=■=■

=■=■=1

七、拆项相减法

例：已知a-1+（ab-2）2=0

求■+■+■+■的值。

分析：根据已知得出a-1=0 ab-2=0，∴a=1，b=2，然后再逆用分数加减法法则，将算式中的分数转化为两个分数之差，使得除首、末两项外的中间各项都可以相互抵消，从而求出原式的值。

原式=■+■+■+■=1-■+■-■+■-■+■-■=■

由于给定条件求代数式的值的问题多种多样，教师在这里不能一一枚举。但是只要学生掌握了一定的方法和技巧，仔细分析题目给出的已知条件和所求的问题，灵活运用已有的知识，找出有利于更好更快的解决分式求值问题的方法。