洪翠莲
摘要:所谓“数学分类讨论方法”,就是将问题所涉及的所有对象依照一定的标准分成若干类,然后逐类加以讨论,最终得出正确的解答,这种方法称为分类讨论法.它既是一种逻辑方法,也是数学中的一种重要思想方法和解题的策略.这一思想方法的运用已成为近年来中考的一大热点。
关键词:分类讨论;思想方法;中考;解题的策略“分类讨论”的问题特点:
一:它具有明显的逻辑特点而且覆盖知识点较多,有利于对学生知识面的考查;
二:同时解分类讨论问题时,需要学生有一定的分析能力,一定的分类技巧,有利于对学生能力的考查。
所以命题者往往能利用分类讨论题来加大试卷的区分度,因而分类讨论题近年备受命题者青睐。
需要进行“分类讨论”的问题一般来讲有两类:
一:涉及代数或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。
二:根据几何图形的点和线出现不同位置的情况一一解决问题。
分类的方法:明确讨论的对象,确定对象的全体,确立分类标准,正确进行分类;逐步进行讨论,获取阶段性结果,归纳小结,综合得出结论。而同学们在解答此类问题时,往往对分类的标准把握不准,或者对分类的情况考虑不全,而导致这类试题的得分率不高.本文我就通过例析归纳中考数学的
几道试题,旨在帮助同学们搞清这类问题的常见解题思路以及策略,提高全面分析问题的能力.
(1)由定义.数学运算.或者字母系数导致的分类:
例1:(苏州中考试题第14题)函数y=2x-1的自变量x的取值范围是___________.
分析与解:此题考查的是二次根式定义与分式定义的复合
∴x-1≥0
x-1≠0 解得:x>1
例2:(湖北襄阳中考第16题)关于x的分式方程mx-1+31-x=1的解为正数,则m的取值范围是___________.
分析与解:此题考查的是分式方程解法同时得注意验根:
解:去分母:m-3=x-1∴x=m-2
∵m-2>0
m-2≠1 解得:m>2且m≠3
例3:(2011•南京)已知函数y=mx2﹣6x+1(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
分析与解:此题(2)是一道典型由字母系数引起的分类,受到m限制此函数可能是一次函数,也可能是二次函数。
解:(1)当x=0时,y=1.
∴无论m为何值,函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0,1);
(2)分两种情况:
①当m=0时,函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点;
②当m≠0时,若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根,所以△=(﹣6)2﹣4m=0,m=9.
综上,若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.
总结:遇上此类题,我们应从定义与运算性质或函数性质等进行分类,整合得出最后答案。
评注:字母系数的取值范围问题是否要讨论,要看清题目的条件。一般设问方式有两种
(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。
这都表明是二次方程,不需讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例(2)是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。
(2)应用题中限制条件导致的分类:
例4:(陕西第21题)
2011年4月28日,以“天人长安,创意自然——城市与自然和谐共生”
为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园,这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类,其中个人票设置有三种:
票得种类夜票(A)平日普通票(B)指定日普通票(C)单价(元/张)60100150某社区居委会为奖励“和谐家庭”,欲购买个人票100张,其中B种票得张数是A种票张数的3倍还多8张,设购买A种票张数为x,C种票张树伟y
(1)、写出Y与X之间的函数关系式。(2)、设购票总费用为W元,求出W(元)与X(张)之间的函数关系式。(3)、若每种票至少购买1张,其中购买A种票不少于20张,则有几种购票方案?并求出购票总费用最少时,购买A,B,C三种票的张数。
分析与解:此题第(3)小题是道常见的由题目条件限制和实际意义限制引起的分类方案题。
解:(1)y=-4x+92
(2)w=60x+100(3x+8)+150(-4x=92)
w=-240x+14600
(3)由题意,得x≥20
92-4x>0解之,得20≤x<23
∵x是正整数,∴x可取20、21、22
∴共有3种购票方案
∵r=-240<0∴w随着x的增大而减小,当x=22时,w是取值最小
即当A票购买22张时,购票的总费用最少
∴购票的总费用最少时,购买A、B、C三种票的张数分别为22,74,4
评注:实际应用题中的分类,通常应认真审题从题中找出所有限制条件,同时再考虑是否要受实际
意义限制,两者综合下就可解题了。
(3)图形不确定导致的分类:
例5:(福州中考第10题)
如图,长方形网格中,每个长方形的长为2,宽为1,AB两サ阍诟竦闵希若C也在格点上,以ABC为顶点的三角形面积ノ2,则满足条件的点C个数()A、2B、3C、4D、5シ治鲇虢猓禾角舐足某些已知条件的点是中考常见题。这类题构思非常巧妙,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,学生求解此类题常会漏解,甚至无从下手。ゴ颂夤丶抓住C是格点,同时S⊿ABC=2下手,S⊿ABC=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗•底×高,∴底×高=4且C是格点。ァ喾掷辔①底为2,高为2,如图C1,狢2两点。ア诘孜4,高为1,如图C3,狢4两点。プ酆希汗灿4点,故选(C).ダ6(莆田第7题)等腰三角形的两条边长分别为3,6,那么它的周长为()ァ嗀.15〓B.12〓C.12或15〓D.不能确定シ治鲇虢猓捍颂馐堑妊三角形中,因腰和底不确定需分类讨论,解决此类题一般方法是先分类,再计算。ア偃舻孜3,腰为6,则三边长为:3、6、6。ア谌舻孜6,腰为3,则三边长为:6、3、3。ネ时运用三角形三边关系验证是否能构成三角形:ァ3+6>6,6-3<3∴3、6、6可构成三角形,此时周长为3+6+6=15ビ帧6+3>3,6-3=3∴6、3、3不能构成三角形(舍去)プ凵希罕咎獯鸢腹恃。ˋ)ダ7(湖北襄阳中考第17题)ト缤4,在梯形ABCD中.AD∥BC,AD=6.BC=I6。E是〖TP10.TIF,5。1,PZ〗BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动:点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发.沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止〖FL)〗〖HT〗〖JZ〗〖HT2Y4〗〖MZ(1〗