注重高中数学问题本质教学，提高学生数学思维能力

林玉莲

摘 要：高中数学知识点繁多、变化无穷，在课堂教学中，教师应结合具体的数学问题，引导学生如何抓住问题中的“变”与“不变”的规律，以“不变”来应“万变”，直达数学问题的本质，使学生从数学题海中跳出来，站在更高的角度去看待问题、思考问题，从而达到提升学生分析、解决问题的能力，提升学生的数学思维能力的目的.

关键词：本质；变化；不变；思维能力

《普通高中数学课程标准（实验）》中“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习.” 正如宇宙中的一切都在运动与变化，如冬去春来、日出日落，总有一天是要变的，自然的规律启示我们，高中生学习数学若还仅是停留在接受、记忆和简单的模仿中，早已无法适应变化莫测的数学问题大海了. 然而在这变的背后，若能抓住数学问题的本质，抓住变化与运动遵循的基本规律，学生的数学学习也将更能游刃有余，也真正能做到通过数学的学习，培养学生的良好思维品质. 本文就此点结合自身教学实践，列举几个简单案例谈谈做法.

紧抓概念（定义）本质，提高学生联想与概括的思维能力

概念教学是高中新课标教材体系的一个重要组成部分，掌握好概念不仅是对基础知识的巩固，更是对学生分析概括能力的培养与提升. 圆锥曲线定义的考查一直是每年高考的重点与热点，教学时应引导学生重视定义的生成过程，理解定义的多种表现形式.

椭圆的定义用文字语言概括起来为“一动（动点），三定（两个定点，一个定值）”，用符号语言可简记为“PF1+PF2=2a（定值）>F1F2”，这里的定值2a在解题时就起着桥梁作用，也即“不变”的本质所在，是进行转化化归的关键.

案例1 （人教版选修2-1P42.3）已知经过椭圆+=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.

（1）求△AF2B的周长；

（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？

思考1：针对案例中的（1）问 “直线AB经过右焦点且垂直于x轴，得周长为定值4a”，思考“若直线AB不经过右焦点，但仍满足垂直于x轴，周长显然发生变化，但何时周长最大呢？”，可得如下高考真题：

（2012高考四川文15） 椭圆+=1（a为定值，且a>）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______.

分析：题意初看起来与选修2-1课本结论三角形周长为定值4a看似相同，但问题在于这里的直线x=m并没指明经过焦点. 已知三角形ABF周长的最大值为12，设直线x=m与x轴相交于点C，根据椭圆的对称性可进一步引导学生将问题转化为AF+AC的最大值为6，设右焦点为F，而AF+AF ′=2a，这里剩下的问题就在于引导学生自主去动手探究AF+AC与AF+AF ′存在什么关系呢？不难发现AF+AC≤AF+AF ′，也即最大值时的位置就是当直线x=m经过焦点时的位置.

思考2：针对原题（2）中“直线AB经过右焦点但不垂直于x轴，得周长仍为定值4a”，思考“若直线AB与x轴不垂直且未知是否经过右焦点，但满足某一条件下，AB何时最大呢？”，可得如下高考真题：

（2011北京） 已知椭圆G：+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点.

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

图2

分析：（1）略；

（2）由题意知，m≥1.

当m=1时，切线l的方程x=1，点A，B的坐标分别为1，，1，-，此时AB=，当m=-1时，同理可得AB=；？摇当m>1时，设切线l的方程为y=k（x-m），由y=k（x-m），+y2=1，得（1+4k2）·x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

又由l与圆x2+y2=1相切，得=1，即m2k2=k2+1，所以AB===.

因为AB==≤2，且当m=±时，AB=2，所以AB的最大值为2（可知此时直线AB经过椭圆右焦点）.

以上几个问题题意上似乎与椭圆定义无直接关系，但考查问题本质并未发生改变，这就要求课堂教学时，不应仅局限概念或定义的直接应用，更多地应该引导学生去观察分析隐含在几何关系中定义的本质，从中培养学生联系与概括的思维能力.

紧抓问题的结构特征本质，提高学生敏锐的直觉思维能力

高中数学中很多问题都有着其解题的共性与方法，也就是我们平常所谓的题型教学，这种课学生更习惯于墨守成规地套用公式或方法去解题，往往导致解题受阻半途而废，课堂上教师更应侧重于引导学生用对比与联系的观点去审视问题，观察问题的解题方向，紧抓问题的特征本质，快速寻找正确的解题思路，提高学生敏锐的洞察与直觉思维能力.

案例2 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′（x）·g（x）-f（x）g′（x）>0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是________.

对于这个问题，学生在熟练掌握了分式型函数求导法则之下，不难构造出新函数F（x）=，但往下作答时却发现所构造的函数对g（3）=0将使得F（3）无意义，思路受阻无法前行，这种构造方式无非就是要满足求导后的分工与条件一致，如果将条件等价变换为：当x<0时，g′（x）·f（x）-g（x）·f ′（x）<0，直觉告诉我们所构造的新函数应为F（x）=，问题将迎刃而解.

又如问题：已知f（x）为定义在R上的可导函数，且f（x）

A. f（2）>e2f（0），f（2011）>e2011f（0）

B. f（2）e2011f（0）

C. f（2）>e2f（0），f（2011）

D. f（2）

这一问题从条件来看基本上看不出任何可利用的线索，但对比本题的各选择支，其中却隐含着“从特殊到一般”的信息“f（x）exf（0）”？圳f（0）？圳<或>，到此为止，构造新函数g（x）=便水到渠成了.

上面两个例子的分析与解决过程，对教师的课堂教学提出明确要求，要引导学生用联系与对比的观点看待问题、剖析问题，抓住问题的本质特征，提升学生的逆向分析与直觉思维能力.

紧抓公式的内涵本质，提高学生创造性的思维能力

公式的推导教学在数学教学中常常被教师忽视，更多地为了推导而推导，甚至有的教师省略推导过程，直接给出公式，然后围绕公式机械训练. 这样只是让学生“知其然，而不知其所以然”，对公式的内涵本质一无所知，很少起到对学生思维能力提升的作用. 反之，若能在公式的推导教学中，紧抓公式的内涵本质，创设情境，使学生利用已有知识“同化”和“索引”出当前要学习的新知识，可以促成对新知识意义的建构.

案例3 二项式基本定理：（a+b）n=Canb0+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Canbn，公式的推导过程中，书本是从采用特殊到一般的方法归纳、猜想，最终加以证明验证公式，对通项“Can-kbk”的解释分析语言为：“an-kbk出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个b的组合数C”，学生对这一解释并不难理解，进而利用通项公式Tk+1=Can-kbk去解决二项展开式中的特定项问题看似没什么问题了，但是如果教学活动仅是停留于此，那就没能把其中蕴涵的数学本质发挥到极致了. 若将此二项式定理的通项公式设置成情境问题：“一次射击比赛中某选手射击一指定目标，共有n发子弹，每次射击互不影响，且每次命中的概率为p，求他在n次射击中命中目标k次的概率大小？”，在这个问题里命中的概率p就等同于b，没命中的概率1-p等同于a，所求事件概率即为P（x=k）=C（1-p）n-k·pk，这一概率模型可以看成是对n次射击的一种组合方式，其本质是“ak·bt”中的k，t满足不定方程k+t=n（定值），这里不妨将它称为“组合原理法”. 应用此方法可以解决如下类似的一些问题.

问题1：求x2-展开式中常数项及含x9项的系数？

本题套用通项公式求解并不困难（这里略去），另外，如果我们采用“组合原理法”，问题表示为“（x2）m·-”，其中m，n满足m+n=9，2m-n=0，易得m=3，n=6，因此可构造组合搭配3个x2，6个-，得常数项为C-；同理，m+n=9，2m-n=9，得m=6，n=3，可构造组合6个x2，3个-，得x9的系数为C-.

再如问题2：求（x2+3x+2）5的展开式中x2项的系数，如果套用二项式定理的通项公式，因其不是“二项”问题而无从下手，若是将其分解成（x+1）5（x+2）5后，再用两个通项公式也难以入手解决.但是若用“组合原理法”分析，“（x2）m·（3x）n·2k”，由m+n+k=2，2m+n=2，m，n，k∈N，易得m=1，n=0，k=4或m=0，n=2，k=3，即得组合1个x2，0个3x，4个2或0个x2，2个3x，3个2也即得所求系数为C·1·24+C·32·23=800，这种对问题本质的理解与思考问题的方式，就不再局限于二项或三项的问题了，学生不仅掌握了所学知识，更重要的是将知识进行了推广与创新，其发现与创造性思维能力也无形得到了进一步的提升.

前面的问题解决了x的次幂问题，但若问题改为：（x+y+z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）

A. 11 B. 33

C. 55 D. 66

本题表面上并非x的次幂问题，但合并同类项后仍可视为与次幂问题为同一类型，即解决的实质为“xm·yn·zk”，其中m，n，k满足：m+n+k=10，m，n，k∈N ？圳m′+n′+k′=13，m′，n′，k′∈N*（令m′=m+1，n′+n+1，k′=k+1），利用分组问题的“隔板法”易得项数为C=66.

紧抓问题的内在联系，提高学生逻辑推理的思维能力

《普通高中数学课程标准（实验）》指出“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.” 逻辑推理能力是实现这一目标的重要环节，课堂教学上首先是引导学生学会“同中求异”、“异中求同”的思考习惯，紧抓问题的内在联系，提高学生逻辑推理的思维能力.

案例4 笔者在一次试题评析课上遇到这样一个问题：（厦门市2012-2013质量检测）A，B为抛物线C：y2=4x上除原点O外的两个点，且·=0，以OA，OB为直径的两圆交于除O外的另一点P，则P的轨迹方程是________.

图3

对于本题，不管是利用直接法或消参等方法，求解都较为烦琐，究其原因，主要在于学生没能真正分析出此直线在具备已知条件下所隐含的确定要素，想直接套用求轨迹方程的一些常用方法而导致困难重重. 反思我们的教学，如果平时教学中能够引导学生多去思考、对相近问题及时对比、总结，多领会对问题的内在联系，则解题将可获得新的突破与创新，对照本题条件，我们可以在书中找到它的影子.

问题1：人教版选修2-1P73A组第6题：如图3，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.

问题2：P81第3题：如图4，已知直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值.

图4

对这两道题目，教学时若引导学生从条件、结论等方面多去思考它们存在的联系，可发现都满足共同点：直线AB与抛物线的相交弦AB满足顶点O的视角∠AOB=90°，不同点在于：第一题是直线、抛物线给定，求证弦所对视角为90°，第二题是已知视角弦为90°，抛物线待求解，可视为给定，但直线却是可变的.教学时我们是否可以换个角度思考在抛物线给定且视角为90°的前提下，此直线无论是给定还是未给定，必然与所给抛物线间存在着一个不变的特征量，我们知道确定直线的特征量为定点或斜率，但从题目2明显可以看出直线的斜率是可变的，那就意味着此直线必经过一个定点，接下来的事情就只要我们去探求此问题的一般性了：“已知抛物线y2=2px（p>0），A，B为抛物线上两点，若OA⊥OB，则直线AB恒过一定点，并求此定点.”

针对此问题条件与结论间存在的某种逻辑联系，可引导学生对此题做如下不同方向的思考：

1. 对照此题，已知视角弦为90°，我们是否可做适当改动呢？则可得如下思考：

思考1：本题中，OA⊥OB，即kOA·kOB=-1，若改为kOAkOB=m（m为不为零的常数），直线AB是否过定点？（此问题可先尝试对特例进行研究，再做一般性研究，可得直线AB仍过定点-，-y0）.

思考2：若kOA+kOB=n（n为非零常数）， 直线AB过定点吗？（同上思考方式，得直线AB过定点-，-y0）

2. 本题中O为抛物线的顶点，我们是否还可将其改动为其他点呢？则又可得如下思考：

思考3：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？

思考4：把思考1和思考2中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

3. 从圆锥曲线教学内容思考，在抛物线下成立的结论，其他曲线是否也成立呢？则可如下思考：

思考5：已知椭圆方程为+=1（a>b>0），直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆的左顶点为C，若CA⊥CB，直线l是否过一定点？

思考6：已知椭圆方程为+=1（a>b>0），直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆的一定点C，若CA⊥CB，直线l是否过一定点？

思考7：已知椭圆方程为+=1（a>b>0），直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆的左顶点为C，若kCA·kCB=m（m为不为零的常数），直线l是否过一定点？

逻辑推理能力是在把握了问题与问题之间内在必然联系的基础上展开的，所以，养成从多角度认识问题的习惯，全面地认识问题的内部与外部之间、某问题同其他问题之间的多种多样的联系，对逻辑思维能力的提高有着十分重要的意义. 教学中只要能坚持引导学生对所给问题多去分析、多去推理，从问题的各个角度寻找共性与异性，这样我们就能将某些问题、甚至某类问题完整化，学生分析问题的思路、数学思想、知识体系也就能清晰化. 这种注重问题的内在本质、内在联系的教学，能很好地促进学生数学思维能力的提升.