圆柱贯穿圆锥正交相贯线的一种几何作法

【摘要】找准、找全特殊点，是快速、准确地作出相贯线的关键。本文基于数学理论，运用数学模型，针对圆柱贯穿圆锥正交相贯线上特殊点不能准确画出的问题，提出了一种准确、简便、可靠的几何作法，为手工绘图、计算机绘图提供了理论依据。

【关键词】数学模型 圆柱 圆锥 正交 相贯线

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）12-0123-02

一、引言

制图中求两个回转曲面的相贯线，通常是先确定特殊点，再根据需要找出一些中间点，然后用光滑曲线连接起来。本文基于数学理论，运用数学模型，针对圆柱贯穿圆锥正交相贯线上最右（左）点不能准确画出的问题，提出了一种准确、简便、可靠的几何作法，也为手工绘图、计算机绘图提供了理论依据。

二、建立圆柱贯穿圆锥正交相贯线上的数学模型

圆柱贯穿圆锥且轴线垂直正交，设圆柱的半径为r，圆锥的半顶角为 ，圆柱与圆锥轴线的交点为坐标原点O，圆锥顶点S到O点的距离为h，如图1建立空间直角坐标系Oxyz，于是有

圆柱面方程：y2+z2= r2 （1）

圆锥面方程：x2+y2=（z-h）2tan2 （2）

将上述两方程联立，消去y，得相贯线方程：x2+r2-z2=（z-h）2tan2 （3）

（一）解析法确定圆柱贯穿圆锥正交相贯线的形状

将相贯线方程（3）化简，整理得：

-（z-hsin2 ）2 =h2sin2 cos2 -r2cos2 （4）

由于是圆柱贯穿圆锥，所以r0，所以方程（4）表示的是左、右两支双曲线，在xoz平面上，z轴是虚轴，z=h sin2 是实轴，顶点在实轴上。

即当圆柱贯穿圆锥正交时，二者相贯线在xoz平面上的投影为左右对称的双曲线。由（4）不难求得左支双曲线的顶点B坐标为（ ，0，hsin2 ）。

（二）导数法证明圆柱贯穿圆锥正交相贯线上最右点即为上述左支双曲线的顶点

将相贯线方程（3）化简，得x2=z2sec2 -2zh tan2 +h2tan2 -r2 （5）

对（5）式两边求关于z的导数，得2x =2z sec2 -2h tan2 令 =0，得驻点z = h sin2？夼.在只考虑左支双曲线时，有x > 0。此时，当z < h sin2 时， < 0；当z > h sin2？夼 时， > 0。根据函数的单调性，可知关于z的函数x在z =h sin2 时取得极值，且极值点为（ ，0，hsin2 ），正是上述左支双曲线的右顶点。

所以，当圆柱贯穿圆锥正交时，上述左支双曲线的右顶点就是二者相贯线在xoz平面上投影的最右点。

（三）基于数学模型的启示

通过分析数学模型（3）可知，圆柱贯穿圆锥正交时，①相贯线的形状为左右对称的双曲线；②相贯线上的最右（左）点在水平面z=h sin2 上；③可以作辅助平面z=h sin2 确定相贯线的最右（左）点。

三、圆柱贯穿圆锥相贯线的几何画法

（一）相贯线上的最高（低）、最前（后）点的几何求法

如图2所示，相贯线上的最高点是a'点，最低点是b'点（针对左侧相贯而言，b'点又是最左点），它们分别是圆锥的最左素线与圆柱的最上、最下素线的交点；相贯线上的最前、最后点分别位于圆柱的最前、最后素线上，就是e、f两点，这些特殊点采取几何法可以准确求出。

（二）相贯線上前、后对称的最右（左）点的几何求法

为方便起见，这里只说明圆柱左侧贯穿圆锥时，相贯线上最右点的几何求法（右侧贯穿最左点类似），见图2，具体步骤如下。

（1）找出圆柱、圆锥两轴线的交点O。

（2）求作辅助平面z=h sin2 ，由2.3知，相贯线上的最右（左）点在水平面 z=h sin2 上，又z=h sin2 =h sin ·sin ，从交点O向圆锥的最右素线SU引垂线，得垂足n'，则On'= h sin ；过n'作平行于圆锥底面的水平面交圆锥轴线于k'点，由平面几何知识知道，Ok'=On'·sin =h sin ·sin =h sin2 ，所以过n'所作的平行于圆锥底面的水平面就是相贯线上的最右（左）点所在的平面z=h sin2 。

（3）找出相贯线上的最右点。根据空间平面的三视图特征及其投影特性，过n'的辅助平面z=h sin2 的正面、侧面投影都积聚成直线，与圆柱、圆锥表面的共有点是前、后对称的两点，它就是相贯线上的关键特殊点——最右两点c、d点，其正面投影为c'（d'）。

（三）圆柱贯穿圆锥正交相贯线的几何画法

通过（一）和（二），求出了相贯线上的特殊点：最高、最低点；最前、最后点；最左、最右点，这就确定了相贯线的空间范围；根据2.1和2.2知道，圆柱左侧贯穿圆锥时，相贯线是左支双曲线，双曲线的顶点就是相贯线最右点，为了手工描点作图的精确度更高，还可以找一些中间点，比如像图2中p'（q'）这样的中间点。

有了这些特殊点和中间点，依次用光滑的曲线连接起来，就能较准确性的作出相贯线，如图3所示。

四、圆柱正交圆锥相贯线形状变化综述

圆柱半径为r，圆柱圆锥两轴的交点到圆锥最左（右）素线的距离为h sin 。

（一）r

圆柱贯穿圆锥情况如图4所示。根据相贯线的数学模型（4）可知，此时相贯线在V面上的投影取左、右两支双曲线上对称的一段，如图7中的ab段，顶点s（± 0，hsin2 ）为相贯线的最右（左）点，随着圆柱半径r的变化而在双曲线的实轴z =h sin2 上移动。

（二）r=h sin ，圆柱圆锥公切于球

柱锥公切于球，球半径R=r=hsin 。根据相贯线的数学模型（4）可知，相贯线方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 =0，此时情况如图5所示，即相贯线为两条相交直线z=±xcos +hsin2 上的一段，其交点即为（0，0，hsin2 ）点。所以当圆柱圆锥公切于球时，相贯线在V面上的投影取图7中两条渐近线上对称的一段。

（三）r>h sin ，圆锥贯穿圆柱

根据相贯线的数学模型（4）可知，此时相贯线方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 <0，此时情况如图6所示，即方程（4）表示的是上、下两支双曲线。在xoz平面上，z =h sin2 是虚轴，z轴是实轴，顶点在z轴上。由方程（4）不难求得上、下两支双曲线的顶点坐标为（0，0，hsin2 cos），顶点随着圆柱半径r的变化而在双曲线的实轴即z 轴上移动。所以当圆锥贯穿圆柱时，相贯线在V面上的投影取图7中上、下对称两支双曲线上的一段。

总之，在《机械制图》的教学过程中，将数学知识、数学思维、数学思想恰当的运用其中，既能增强《机械制图》教学的实效性，又能让学生体会到数学与其他学科间的联系，提升学生学习数学的积极性和兴趣度，促进学生形成和发展数学应用意识，提高实践应用能力。

参考文献：

[1]袁时慧，盖玲，王海燕.确定相贯线上一些特殊点的作图法[J].浙江农业大学学报，1998，24（3）：329-332.

[2]张玉兰，智艾娣.圆柱贯穿圆锥的相贯线及其数学模型[J].洛阳师范学院学报，2006，5：46-48.

[3]王仁毅.两轴线垂直相交的圆柱面与圆锥面相贯线上特殊点的探讨[J].厦门教育学院学报，2000，1：38-40.

作者简介：

余敏（1965-），女，安徽省寿县人，教授，工学学士，研究方向：士官教育工作和士官基础课教学研究。