中考动点问题类型及解题策略

袁万萍

近年来，中考数学中的动点问题成为考查学生的热点题型，这类题型不仅涉及知识点多，而且能将几何知识和代数知识紧密结合，既考查了学生的基本运算能力，又考查了学生的思维能力和空间想象能力，较综合地体现了中考数学对学生的素质要求. 但是由于这类题型往往信息较多，综合难度较大，学生得分情况很不理想，如何在平时教学中逐步渗透，培养学生认识、分析此类题型的能力，理解动与静的辩证关系，达到提高思维品质的目的，成为我们一线教师值得思考的问题.

一、了解动点问题

所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题. 二、动点问题的类别与解题策略

动点问题按动点的个数分类可以分为：一个动点问题、两个动点问题、多个动点问题. 按运动轨迹分类可以分为：直线上的动点问题、曲线（比如抛物线、圆）上的动点问题、平面上的动点问题.

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性，如等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值. 下面就此问题的常见题型作简单介绍，关键给以点拨.

（一）三角形边上动点

例1 （2012贵州遵义）如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD = 30°时，求AP的长；

（2）运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由.

考点 动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°度角的直角三角形的性质.

分析 （1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB = 60°，再由∠BQD = 30°，可知∠QPC = 90°，设AP = x，则PC = 6 - x，QB = x，在Rt△QCP中，∠BQD = 30°，PC = QC，即6 - x = （6 + x），解得x = 2.

（2）作QF⊥AB，交线段AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P，Q做匀速运动且速度相同，可知AP = BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE ≌ △BQF，再由AE = BF，PE = QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB + AE = BE + BF = AB，DE = AB，由等边三角形ABC的边长为6可得出DE = 3，故当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变.

（二）四边形边上动点

例2 （2011贵州遵义）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 20 cm，AD = 10 cm，现有两个动点P，Q分别从B，D两点同时出发，点P以每秒2 cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1 cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于點F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P，Q移动的时间为t（单位：s，0 < t < 10）.

（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？

（2）在P，Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由.

考点 动点问题，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，梯形.

分析 （1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ = CP，根据P，Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ，CP的长度表达式，解方程即可.

（2）PH的长度不变，根据P，Q两点的速度比，即可推出QD ∶ BP = 1 ∶ 2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH = 20.

（三）抛物线上动点

例3 （2010贵州遵义）如图3，已知抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问：是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

考点 动点问题，抛物线，直角三角形，四边形.

分析 （1）将Q（2，-1），C（0，3）分别代入y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）中即可确定a的值，然后配方后即可确定该抛物线的函数关系式.

（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；当点A为△APD2的直角顶点时，分别计算得P1（1，0），P2（2，-1）.

（3）当点P的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F. 当AP = FE时，四边形PAFE是平行四边形.