高一教学中如何渗透分类讨论的数学思想

押雪霞

一、问题提出

在高中数学教学中，分类讨论的数学思想可以说无处不在，如：函数y = ax2 + 2x + 3的图像一定是抛物线吗？函数y=loga（2x-1）一定是增函数吗？不等式a■ < a2x-3与不等式x2 < 2x - 3同解吗？……比比皆是. 它们都需要对参数进行分类讨论. 以谁为标准分类才能做到不重不漏是许多高中生的困惑. 有的学生到高三复习了遇见参数还是无所适从，不是盲目地按a > 0，a < 0，a = 0分类，就是机械地按a > 1，a < 1，a = 1分类. 本文拟从高一教学中探讨如何逐步渗透分类讨论的数学思想，以使学生在高中起始阶段就能正确掌握分类讨论的方法，从而在后续学习中能灵活应用，并游刃有余.

二、目标实施

1. 小处着眼，逐步递进

高一学习第二章“基本初等函数”时，首先要复习初中已学过的二次函数. 在此教师可有意识地设计：函数y = ax2 + 2x + 3的图像是什么？学生很容易回答是抛物线. 教师可反问它的图像一定是抛物线吗？学生就会恍然大悟，应分a = 0，a ≠ 0两种情况考虑：当a = 0时，它为一次函数，它的图像是直线；当a ≠ 0时，它是二次函数，它的图像才是抛物线. 在此为学生埋下了分类讨论的数学思想的种子，使学生有了初步的感官认识. 紧接着教师给出例1：求函数y = x2 - 2ax + 3，当x∈[1，3]时的最小值. 学生易犯的错误是求出对称轴x = a，它对应的函数值就为最小值. 教师可提示已知条件中所给的区间x∈[1，3]有什么作用，从而使学生意识到应按对称轴x = a与区间的位置分a < 1，1 ≤ a ≤ 3，a > 3三种情况求解. 至此，学生对分类讨论的数学思想有了更进一步的感性认识，教师应趁热打铁给出例2：求函数y = x2 - 2x + 3，当x∈[a，a + 1]时的最小值，“吃一堑，长一智”，学生自然就会按对称轴x = 1与区间的位置分1 < a，a ≤ 1 ≤ a + 1，1 > a + 1三种情况求解. 教师的作用就是引导学生总结两例题的区别和联系：一个是轴动区间定，一个是轴定区间动. 它们都需要按对称轴和区间的位置进行分类讨论. 这类题的一般规律是将对称轴放在区间的左面、区间的中间、区间的右面，分三种情况进行讨论求解，从而使学生对分类讨论的数学思想上升为理性认识.

2. 温故知新，螺旋上升

在二次函数的复习中，学生对分类讨论的数学思想有了初步的认识，在此基础上，我趁势给出了三个二次的关系，即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系，并引导学生来探讨含参数的一元二次不等式的方法.

例1：解一元二次不等式x2 - （a - 1）x - a > 0. 因为一元二次方程x2 - （a - 1）x - a = 0有两个根x = a和x = -1，由一元二次函数的图像知此一元二次不等式的解应在两根之外. 但两根的大小不能断定，目的就是让学生想到从两根的大小分三种情况进行讨论求解.

例2 ：解一元二次不等式x2 - ax + 1 > 0. 因为一元二次方程x2 - ax + 1 = 0的判别式为a2 - 4，其正负不能断定，即此方程是否有根不知道，目的就是让学生想到由判别式的大小分三种情况进行讨论求解.

例3 ：解不等式ax2- （2a + 1）x + a + 1 > 0. 本题目的是让学生想到由x2的系数a来分三种情况进行讨论求解. 因为a = 0时，此不等式为一次不等式；当a > 0时，此一元二次不等式的解集为两根之外；而当a < 0时，此一元二次不等式的解集变为两根之间. 需要注意的是，由于是高一学生，分类讨论的难度教师一定要把握好. 个人认为让学生掌握一层分类即可，而那种先按是否有根分类讨论，再按两根大小分类讨论的多层讨论不必涉及.

3. 不断强化，形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识. 在指数函数的学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的習惯. 首先教师给出例1：解不等式a < a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a > 1，a < 1两种情况求解. 紧接着教师给出例2：求函数y = a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1）的单调区间. “一回生两回熟，三次见面就是老朋友.”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x-1） < loga（x - 3） （a > 0 且a ≠ 1）与例2：求函数log a（2x-1）（a > 0 且a ≠ 1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固. 实践证明，高一有了学习必修1的良好开端，高一的必修2的教学就显得格外轻松. 例如在必修2解析几何的学习中，当教师让求直线2x - ay + 3 = 0的斜率时，学生都会自觉地考虑a = 0时斜率不存在，a ≠ 0时斜率为时. 不仅如此，他们还能按a > 0，a < 0来进一步判断斜率的正负以及倾斜角什么时候是锐角、什么时候是钝角.

三、一点感想

优秀是一种习惯. 从高一开始，学生从起初的遇见参数就犯错误到不断吸取教训，探索规律，直到后来遇见参数就分类讨论，可以说已经成为他们自觉的习惯. 从一开始的不知道如何分类到后来分类标准的不重不漏，可以说他们对分类讨论的方法已经掌握得炉火纯青. 我相信这不仅为他们学好高中阶段的数学树立了信心，这种严谨的一丝不苟的学风也一定会迁移到他们今后的学习和工作中，一定能使他们受益终生.