妙用猜想 激活思维

唐恒安

【摘要】 数学猜想是一种数学想象，合理恰当地运用猜想可以锻炼学生的数学思维，培养学生的创新能力. 本文结合教学实例，论述了在初中数学教学中学生猜想思维的培养策略，以求迸发出智慧的火花.

【关键词】 初中数学；猜想；思维

牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现. ”猜想是一种想象，是人的思维依据已知的原理和公式，在探索未知的规律、本质时的一种策略. 众所周知，数学为我们提供了一些学习证明推理的好机会，合理恰当地运用猜想，可以激发学生的学习兴趣，启发学生大胆思维，让学生的逻辑思维在“先知先觉”的猜想中得到飞跃和升华. 下面笔者结合教学实例，谈谈如何在初中数学教学中培养学生的数学猜想思维，以带领学生从猜想的角度探寻数学知识的奥秘.

一、通过直观形象，提出猜想

形象材料的最主要特征是具体性、直观性，借助于事物的形象（表象），引导学生联想和想象，让学生在直观形象中发现问题，形象伴随着思维，一表一里，相得益彰. 因此，教师可以借助直观的图形、数学模型等，通过启发诱导，充分调动中学生利用表象进行思维，进而为学生直观生动地建立数学概念.

例如在讲等腰三角形“两个底角相等”这一性质时，我首先让学生拿出课前准备好的等腰三角形纸片并进行大胆猜想：这个三角形的底角大小是否相等？学生通过直观的形象，很容易猜想出等腰三角形的两个底角相等，并通过用量角器量、对折等方式进行了验证. 为了让猜想具有一般性，我再次利用多媒体技术去验证学生的直觉推断能力：如图1所示，拖动鼠标，通过使等腰三角形的顶点垂直上下移动，底边两个端点同时左右移动，而随意改变等腰三角形的外形，再通过计算机的测算功能验证了等腰三角形的两个底角相等. 同理，猜想并验证“等腰三角形三线合一”的性质.

通过让学生以直观形象先猜测结果，再去验证，这种猜想尤其适合平面几何，能有效调动学生学习的积极性，提高教学效果.

二、通过类比，提出猜想

我国古代数学家刘徽说过：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已. ”类比猜想是将两个本质相同的对象进行类比，找出它们类似或相同的规律，这是解决问题的有效捷径，有利于提高学生举一反三、触类旁通的灵活应变能力.

例如有道题目如下：已知a2 + 2a - 1 = 0，b2 + 2b - 1 = 0，且a ≠ b，求ab + 2a + 2b的值. 初看这道题目，很多学生都似乎无从下手，感觉解题过程会很繁琐. 但如果能引导学生仔细观察，利用类比、联想，将原问题转化为类似问题来解决，便能从已知条件中联想到一元二次方程的根与系数的关系，从而产生新思路：构造一个以a和b为根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0，根据韦达定理，a + b = -2，ab = -1，代入原式ab + 2a + 2b = ab + 2（a + b） = -1 + 2 × （-2） = -5. 通过类比，使学生快速地解决了问题，也有利于学生形成知识网络，遇到类似问题时也能做到举一反三、触类旁通.

三、通过归纳，提出猜想

归纳是对考察的对象进行比较和综合，通过归纳，学生可以对隐藏在其中的某些可能存在的规律提出大胆猜想，把个别事物的特征上升到一类事物特征，再用一般特征去指导个别事物的特征，使学生建立起一种比较牢固的新型的解题方法.

例如在进行“平行四邊形”的教学中，我引入了这样一道题：根据图2所示的三个图所表示的规律，依次下去，第n个图中平行四边形的个数是多少？

学生开始仔细观察起来，第一个图中共有6个平行四边形，第二个图中共有18个平行四边形，第三个图中共有36个平行四边形. 依据这个规律，学生根据平行四边形的定义进行归纳并猜测每个图形中平行四边形的个数可用3n（n + 1）来表示，得到一般规律. 然后通过自画图形，验证了这一猜想，第n个图形的平行四边形个数3n（n + 1）与图号的关系式.

四、通过逆向思维，提出猜想

有时候，循着某一固定思路解决数学难题，会屡遭失败，我们不妨沿着相反的方向进行思考，会有“柳暗花明又一村”的感觉，这就是逆向思维，也有人称之为“倒过来想”，这是一种重要的思考能力，能启迪学生智慧，开拓学生的思路.

例如：如图3所示，已知圆环的外圆半径R = 7.5，内圆半径r = 2.5，求圆环的面积S. 对于这道题目，可逆用平方差公式求圆环的面积S = πR2 - πr2. 再比如化简（ - ）（ + ）这一题，也可以通过逆用公式 = |a|来进行求解. 已知am = 3，an = 2，求a3m+2n的值，这一道题同样也可以通过逆用幂的运算性质进行求解，即：a3m+2n = a3m×a2n = （am）3 × （an）2.

通过引导学生摆脱固定的思路和习惯去逆过来思考，提出猜想，并从反面去思考和解答应用问题，能让学生从不同的方向去思考和理解问题，可以培养学生合情的发散思维，激发学生主动探索、积极思维的潜在能力.

总之，猜想是数学活动不可或缺的重要方法，对学生创造性思维的发展有着十分重要的作用. 我们要以扎实的基础知识为依据，适时引导并教给学生必要的数学猜想规律和方法，把论证式推理和推测式推理有效结合起来进行数学猜想，才能带领学生从猜想的角度探寻数学知识的奥秘！

【参考文献】

[1]郝利华.猜想在初中数学教学中的应用[J].学周刊，2013（6）：156.

[2]李成康.初中数学教学如何培养学生的猜想能力[J].广西教育，2009（2）：45.

[3]曹兵祝.浅谈猜想在初中数学解题中的应用[J].新课程，2011（3）：81.